Определение моментов инерции тел простой формы

Лабораторная работа 112

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТЕЛ ПРОСТОЙ ФОРМЫ

Цель работы

Экспериментальное определение моментов инерции тел простой формы.

Идея эксперимента

Идея эксперимента состоит в использовании связи между периодом колебаний крутильного маятника и его моментом инерции. Исследуемое тело является составной частью крутильного маятника. Измерения периода колебаний маятника дают возможность определить коэффициент жесткости пружины и моменты инерции исследуемых тел.

Теоретическое введение

Абсолютно твердое тело – тело, расстояние между двумя любыми точками которого не изменяется в условиях данной задачи.

В дальнейшем вместо термина «абсолютно твердое тело» будет использоваться термин «твердое тело».

Кинематика твердого тела. Любое произвольное движение твердого тела можно представить как суперпозицию поступательного и вращательного движений.

Поступательное движение твердого тела – движение, при котором прямая, соединяющая любые две точки тела, перемещается параллельно самой себе. В этом случае в любой момент времени скорости всех точек тела одинаковы, а его движение можно характеризовать движением лишь одной точки тела. Анализ такого движения проводится по законам, справедливым для движения материальной точки.

Плоское движение твердого тела – движение, при котором траектории всех точек тела лежат в параллельных плоскостях.

Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси – плоское движение, при котором точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной оси, называемой осью вращения.

При вращении твердого тела проекция радиус-вектора каждой его точки на плоскость, перпендикулярную оси вращения, за малый промежуток времени dt поворачивается на один и тот же угол dφ. Если ввести в рассмотрение вектор dφ, длина которого равна углу поворота dφ, а направление определяется в соответствии с правилом правого винта и совпадает с осью вращения, то скорость изменения угла

ω = dϕ[pic 1]

dt

называется угловой скоростью.

(1)

Угловая скорость ω связана с линейной скоростью любой точки тела vi соотношением:

vi = ω × ri ,        (2)

где ri – радиус-вектор рассматриваемой точки.

Изменение ω со временем определяется величиной углового ускорения

ε = dω[pic 2][pic 3]

dt

= d2φ dt2

.        (3)

Если совместить начало системы координат, движущейся поступательно, с какой-либо точкой A твердого тела (точкой отсчета), то скорость любой другой точки B тела можно представить как векторную сумму скорости движения системы координат v0 (скорость точки А) и v′ – относительной скорости точки В:

v = v0 + v′ .        (4)

В качестве точки отсчета может быть выбрана любая точка твердого тела или пространства (если положение этой точки относительно твердого тела не меняется со временем), поэтому и разложение (4) неоднозначно. Однако за малый промежуток времени dt угол поворота dφ не зависит от выбора точки отсчета и является одинаковым для всех точек твердого тела.

С учетом (2) выражение (4) может быть представлено в следующем виде:

v = v0 + ω × r ,        (5)

где ω – угловая скорость вращения твердого тела (не зависящая от выбора точки отсчета), r – радиус-вектор, начало которого лежит в точке А. Поступательная скорость тела v0 зависит от выбора точки отсчета. В частности, точку A можно выбрать так, чтобы v0 была равна нулю. Для плоского движения твердого тела ось вращения, проходящая через точку А, является мгновенной осью вращения.