Обратная кинематика

1 Description and Mobility Analysis of a Delta Parallel Robot

Описание и анализ мобильности дельта параллельного робота

Дельта робот Клавеля представляет собой параллельный манипулятор (ПМ), состоящий из трех идентичных параллельных кинематических цепей [pic 1] соединяющих подвижную платформу 5 и неподвижное основание 1 (рис. 1). В каждой кинематической цепи имеются активные вращательные кинематические пары [pic 2] прикрепленные к неподвижной платформе 1, которые приводятся в движение электродвигателями 2. Подвижная платформа была соединена параллелограммами центрами, которых являются универсальные кинематические пары [pic 3] и [pic 4].

[pic 5]

Рис.1 3D модель Дельта робота  

Каждая нога этого ПР имеет 5 степеней свободы, тогда степень свободы подвижной платформы можно определить следующим образом [1]

        [pic 6]        (1)

где [pic 7]число степеней свободы кинематических цепей (ног) параллельного механизма,

[pic 8] количество ног параллельного манипулятора.  

        Известно, что эти три степени свободы являются поступательными и точность позиционирования такого робота составляет около микрона [2].

2 Обратная кинематика

Составлены уравнения замкнутости контуров ног параллельного манипулятора

        [pic 9]        (2)

Абсолютная система координат [pic 10] размещена в центре трех точек расположения активных вращательных кинематических пар [pic 11].

К каждому элементу кинематических пар были жестко соединены локальные системы координат, [pic 12] у которых оси Z направлены по осям вращательных кинематических пар, а направления осей X совпадают с направлением общего перпендикуляра между осями вращения вращательных кинематических пар, а оси Y дополняют оси X и Z до правой тройки. Универсальные кинематические пары [pic 13] и [pic 14] рассматриваются как два вращательных соединения.

[pic 15]

Рис.2 Абсолюная и локальные системы координат

Для определения компонентов вектора [pic 16] через ноги параллельного манипулятора были получены преобразования Денавита-Хартенберга [3], где определяются однородные преобразования от абсолютной системы [pic 17] до локальной системы координат [pic 18], где расположены универсальные шарниры которые, соединяют ноги параллельного робота с подвижной платформой.

Рассмотрим эти матричные преобразования:

1) [pic 19] 

        [pic 20]        (3)

где [pic 21] соответственно означает [pic 22]

        2) [pic 23]

        [pic 24]        (4)

где [pic 25] 

3) [pic 26] 

        [pic 27]        (5)

где [pic 28]

4) [pic 29] 

        [pic 30]        (6)

где [pic 31]

        В однородных матрицах преобразования (3)-(6) используются следующие постоянные параметры [pic 32], которые определяют геометрию звеньев и переменные параметры [pic 33], которые характеризуют относительные движения элементов кинематических пар параллельного манипулятора. Из матрицы (6) получаем компоненты вектора [pic 34] следующим образом

        [pic 35]        (7)

где

        [pic 36]        (8)

        При решении обратной задачи кинематики задаем положение и ориентацию подвижной платформы, и определяем углы шарниров [pic 37], определяющие конфигурацию каждой ноги, для этого необходимо задать правую сторону уравнений (2) следующим образом

        [pic 38]        (9)

где [pic 39]координаты универсальных шарниров [pic 40] относительно локальной системы координат (полярные координаты) [pic 41], [pic 42] 

        Из равенства (9) получаем