Моделирование процесса теплопроводности в стержне

Лабораторная работа № 3

"Моделирование процесса теплопроводности в стержне"

Элементы теории.

Рассмотрим уравнение теплопроводности, описывающее процесс распространения тепла в одномерном стержне 0 < x < l, с изолированной боковой поверхностью. Математическая модель представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка параболического типа:

[pic 1],                                                             (1)

где u = u(x, t) – температура в точке х стержня в момент t, с – теплоемкость единицы массы, ρ - плотность, с - теплоемкость единицы длины, k - коэффициент теплопроводности, f0 – плотность тепловых источников. Если k, c, ρ  постоянны, то (1) можно записать в виде

[pic 2],                                                                   (2)

где [pic 3] - коэффициент температуропроводности.

Будем рассматривать краевую задачу (иногда говорят начально-краевую задачу) в области [pic 4] со смешанными краевыми условиями:

[pic 5]                                             (3)

В области [pic 6] введем сетку

    [pic 7]

с шагами h по х и τ  по t. Пусть [pic 8] - сеточная функция, принимаемая в качестве приближения искомой функции u(x, t).  Аппроксимируем производную по пространственной переменной разностным выражением на временном слое [pic 9]:

[pic 10] ~[pic 11].

Можно аппроксимировать производную по пространственной переменной разностным выражением на временном слое [pic 12]:

[pic 13] ~[pic 14].

Рассматриваются аппроксимации, представляющие собой линейные комбинации значений при [pic 15] и [pic 16]:

[pic 17]~[pic 18].

Производную по t заменим разностным отношением:

[pic 19]~[pic 20].

Обозначим [pic 21] - некоторую правую часть, например [pic 22]. Тогда при σ = 0,5 дифференциальное уравнение в задаче (3) аппроксимируется  следующим разностным выражением:

       [pic 23]       (4)

В качестве начальных условий задаем:

[pic 24].                                                                          (5)

Для краевых условий

[pic 25]                                                                           

в для концевых точках x0 = 0, xn = l  используем односторонние аппроксимации первых производных с первым порядком:

[pic 26].                                                              (6)

Тогда после алгебраических преобразований разностная схема для задачи (4)-(6) примет вид:

[pic 27]                                  (7)

где [pic 28]                                                              (8)

       [pic 29],                                          (9)

     [pic 30].                  (10)

Рассмотренный алгоритм называется разностной схемой Кранка-Николсона.

Система (7)-(10) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей размера (N-1)× (N-1):

[pic 31]

Для решения краевой задачи (7)-(10) можно использовать вариант метода исключения, называемый методом прогонки. Предполагается, что имеет место соотношение:

[pic 32]                                                                            (11)

Для определения неизвестных коэффициентов αi+1 и  βi+1 соотношение (11) подставляется в систему (7)-(10) и из сравнения сомножителей при одинаковых значениях функции yi получают необходимые выражения.

Алгоритм метода состоит из двух шагов:

а) в прямой прогонке вычисляются значения коэффициентов αi+1 и  βi+1 :

[pic 33]                                                                                                 (12)