Метод Ньютона

1 Постановка задачі

Використовуючи ітераційний метод (для непарних варіантів використати метод простих ітерацій, для парних – метод Ньютона ) знайти дійсні корені рівняння з точністю ε = 10-4 .

2 Математичне обґрунтування алгоритму

Метод Ньютона складається з таких етапів:

Локалізація коренів

Перевірка умови збіжності методу

Вибір початкового наближення x0 € [a, b]

Пошук розв’язку за ітераційною формулою методу

Ітераційнса формула методу (рис. 1)

Рис.1

Метод простих ітерацій складається з таких етапів:

Локалізація коренів

Перетворення вихідного рівняння f(x) = 0 до виду x = φ (x)

Перевірка умови збіжності методу

Вибір початкового наближення x0 € [a, b]

Виконання ітерацій за рекурентною формулою (рис. 2)

Рис. 2

3 Пакетна реалізація методу

3.1 Перетворення рівняння до виду, зручного для ітерацій

Метод Ньютона не передбачає попереднього перетворення рівняння

3.2 Графічна локалізація кореня

Рис. 3

На рис. 3 проведено графік функції і визначено відрізок локалізації кореня:

3.3 Аналітична локалізація кореня

Функція y = f(x) неперервна на відрізку [a, b] (рис.1)

Функція y = f(x) набуває на кінцях [a, b] значень різних знаків

Перша похідна функції y = f(x) зберігає свій знак на [a, b] (рис.4)

Рис. 4

Отже на відрізку [a, b] знаходиться єдиний корінь