Математический маятник

Лабораторная работа 3.2

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК

В-48

Цель работы: Изучение гармонических колебаний, исследование зависимости периода колебаний математического маятника от его длины и определение ускорения свободного падения. Вычисление погрешностей измерений и расчетов.

Приборы и принадлежности: виртуальные тренажер «Математический маятник», или маятник, секундомер, рулетка

Теоретические сведения:

Колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса называются гармоническими.

Основными характеристиками гармонических колебаний являются:

Амплитуда колебаний – максимальное значение колеблющейся величины, обозначают А, измеряется в метрах;

Частота колебаний – число колебаний в единицу времени; обозначается ν , измеряется в герцах;

Период колебаний – время одного полного колебания, обозначается Т, измеряется в секундах;

Циклическая частота – мера частоты колебательного или вращательного движения, число колебаний за  2π секунд, обозначается ω, измеряется в радианах за секунду

Фаза колебаний (полная) - аргумент периодической функции, описывающей колебательный процесс (выражение, стоящее под знаком синуса или косинуса), обозначается φ, измеряется в радианах;

Начальная фаза – значение фазы колебаний (полной) в начальный момент времени, обозначается – φ, измеряется в радианах.

Уравнение гармонических колебаний в общем виде записывается так:

х(t) = А sin(ωt+φo)

Если тело отклонили из положения равновесия и отпустили, то уравнение гармонических колебаний удобнее записать с помощью функции косинуса:

х(t) = А cos(ωt), что то же самое х(t) = А sin(ωt+π/2)

График колебаний имеет вид:

[pic 1]

Для изучения гармонических колебаний в работе воспользуемся математическим маятником – материальной точкой с известной массой, подвешенной на длинной нерастяжимой нити, и совершающей колебания около положения равновесия.

Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой тяжёлый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити.

[pic 2]

Если отклонить его от положения равновесия на небольшой угол, он начнет колебаться под действием возвращающей квазиупругой силы -  силы тяжести.

Уравнение динамики вращательного движения для этого условия имеет вид:

[pic 3]

Частным решением этого уравнения является выражение:

х(t) = А cos(ωt),

где [pic 4] - циклическая частота колебаний маятника,

[pic 5] - период колебаний маятника

Отсюда можно найти:

ускорение свободного падения [pic 6],

исследовать зависимость периода от длины нити и

на опыте проверить справедливость формулы периода.

Описание установки

В работе используют три способа определения ускорения свободного падения.

1 способ.

Если измерить расстояние от точки подвеса до центра тяжести шарика L, вывести его из положения равновесия на небольшой угол, то засекая время колебаний можно найти период колебаний

Т = t / n

Зная период можно определить ускорение свободного падения

[pic 9]

2 способ.

Для двух произвольных значений длинны маятника вычисляют периоды колебания маятника

[pic 10]  и [pic 11]

Найдя разность квадратов периодов, можно получить формулу ускорения:

[pic 12]

В эту формулу входят не длины маятников, а их разность, которую в некоторых случаях можно определить более точно. Следовательно, при вычислениях ускорения нет необходимости определять центр тяжести шарика.