Контрольная работа по "Физике"

Задача №39

Тело массой  соскальзывает без трения с некоторой высоты по наклонной плоскости, переходящей в петлю радиуса . Чему равна эта высота, если реакция опоры в верхней точке петли равна силе тяжести , действующей на тело?[pic 4][pic 1][pic 2][pic 3]

Дано:                                                                    Решение[pic 5]

[pic 6]

       [pic 7]

       [pic 9][pic 8]

Найти: 

[pic 10]

По условию указано, что трения между телом и плоскостью нет. Следовательно, для тела выполняется закон сохранения механической энергии:

[pic 11]

В начальный момент времени тело покоилось на высоте  и обладало потенциальной энергией:[pic 12]

[pic 13]

где   – масса тела;[pic 14]

        – ускорение свободного падения.[pic 15]

В верхней точке петли тело находилась на высоте  и обладало некоторой скоростью . Следовательно, тело обладало и кинетической и потенциальной энергией:[pic 16][pic 17]

[pic 18]

Подставим в закон сохранения энергии:

[pic 19]

[pic 20]

Тогда начальная высота подъема тела равна:

[pic 21]

Определим скорость , которую тело имело в верхней точке петли. Внутри петли тело движется по окружности, следовательно, оно обладает центростремительным ускорением:[pic 22]

[pic 23]

где    – линейная скорость тела;[pic 24]

         – радиус вращения.[pic 25]

Запишем для тела второй закон Ньютона:

[pic 26]

В проекции на ось Оу получим:

[pic 27]

По условию указано, что сила реакции опоры в верхней точке петли равна силе тяжести:

[pic 28]

В итоге получим.

[pic 29]

[pic 30]

Выразим скорость тела:

[pic 31]

Подставим в исходное выражение.

[pic 32]

Ответ:  .[pic 33]