Контрольная работа по "Физике"

Задание: Найти в указанной области отличные от тождественного нуля решения y = y(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным краевым условиям (задача Штурма-Лиувилля).

 15

[pic 1]

Решение: Рассмотрим следующие три случая для возможных значений параметра . [pic 2]

1. Случай когда . [pic 3]

Характеристическое уравнение имеет вид:

[pic 4]

В этом случае общее решение уравнения можно представить в виде:

.[pic 5]

Тогда производная равна:

.[pic 6]

Применяем второе условие:

.[pic 7]

Следовательно, решение имеет вид:

.[pic 8]

Применяем первое условие:

.[pic 9]

Вывод: в случае  исходная задача имеет только тривиальное решение , что не удовлетворяет условию. [pic 10][pic 11]

1. Случай . [pic 12]

В этом случае уравнение имеет вид  и его общее решение: . Производная равна:  и, согласно второму условию, .[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

Следовательно, решение имеет вид:  и, согласно первому условию, . [pic 17][pic 18]

Вывод: в случае  исходная задача имеет только тривиальное решение , что не удовлетворяет условию.[pic 19][pic 20]

1. Случай . [pic 21]

В этом случае общее решение уравнения можно представить в виде:

В этом случае общее решение уравнения можно представить в виде:

В этом случае общее решение уравнения можно представить в виде:

В этом случае общее решение уравнения можно представить в виде:

В этом случае общее решение уравнения можно представить в виде:

.[pic 22]

Производная равна:

.[pic 23]

Применим второе условие:

.[pic 24]

Следовательно, решение имеет вид:

Следовательно, решение имеет вид:

Следовательно, решение имеет вид:

Следовательно, решение имеет вид:

Следовательно, решение имеет вид:

Следовательно, решение имеет вид: