Контрольная работа по "Физике"

Задание 1 (вариант 83)

Дано: x = 1 - a cos(t), см; у = b sin(t), см; t1 = п / 4 с; a = 1 см; b = 3 см

Определить: траекторию точки; положение точки при t1; скорость точки при t1; ускорение точки при t1; касательное и нормальное ускорение точки при t1; радиус кривизны траектории при t1.

Решение

Уравнения движения точки:

x = 1 - cos(t), см; у = 3 sin(t), см

Для определения уравнения траектории точки в явном виде исключим из параметрических уравнений её движения время t.

Поскольку аргументы функций x(t) и y(t) равны, воспользуемся тригонометрической формулой cos2 а + sin2 а = 1.

[pic 1][pic 2]

2[pic 3]

(1 - x)2 +        =1

Уравнение эллипса (1) с центром в точке (1, 0) и длинами полуосей: ось x - a = 1 см, ось у - b = 3 см и есть искомое уравнение траектории точки. Выберем координатные оси xy, примем масштаб 1 см - 0,5 см и построим найденную траекторию. Для построения эллипса нам известны координаты его центра и длины полуосей.

Определим положение точки Мв заданный момент времени t1:

x1 = 1 - cos — = 0,29 см;

14 )

у1 = 3sin — = 2,12 см

Изобразим точку М1 на траектории соответственно найденным координатам x1, у1.

Скорость точки найдём по её проекциям на координатные оси. Для этого продифференцируем по времени заданные уравнения движения:

V =~~ = sin(t), см / с; V = — = 3 cos(t), см / с

x dt        у dt

Полная скорость точки M:

[pic 4][pic 5][pic 6]

Проекции скорости и полная скорость точки Mпри t1:

[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

V1 = -\lVx2 + V* = л/0,712 + 2,122 = 2,24 см / с

Изобразим найденные значения на рисунке. Примем масштаб 1 см - 0,25 см / с.

Из точки М1 проводим параллельно оси x - Vx1 и параллельно оси y - Vy1 в соответствии с их знаками, в выбранном масштабе. Диагональ прямоугольника, построенного на сторонах Vx1 и Vy1 - полная скорость V1, лежит на касательной т к

Ускорение точки найдём по его проекциям на координатные оси. Для этого продифференцируем по времени проекции скорости точки:

[pic 11][pic 12]

Полное ускорение точки M:

2 .        2        _        /2

а = J ах + ау, см / с

Проекции ускорения и полное ускорение точки M при t1 :

[pic 13][pic 14][pic 15]

а1 = а-1 + а21 = ,J0,712 + (-2,12)2 = 2,24 см / с2

Изобразим найденные значения на рисунке. Примем масштаб 1 см - 0,25 см / с2.

Из точки M1 проводим параллельно оси х - ах1 и параллельно оси у - ау1 в соответствии с их знаками, в выбранном масштабе. Диагональ прямоугольника, построенного на сторонах ах1 и ау1 - полное ускорение а1, направлено внутрь эллипса.