Контрольная работа по "Физике"

Задача 9.17

Методом Ньютона вычислить с точностью [pic 1] значение [pic 2], при котором достигается максимум целевой функции

[pic 3]                                                                                                   (17)

на интервале  [pic 4].              

Решение

1. Постановка вычислительной задачи. Согласно методу Ньютона оптимума функции [pic 5] приводится по формуле [pic 6]

[pic 7]     [pic 8]                                                        (18)

где [pic 9] - значения искомого оптимума [pic 10] в k - ом и k+1 – ом приближениях.

В качестве критерия окончания итерационного процесса применяют условие близости двух последовательных приближений

[pic 11]                                                                                             (19)

или близости значений целевой функции на этих приближениях

[pic 12]

Дополнить формулу (18) выражением для производных [pic 13] и [pic 14]функции (17)

[pic 15];   [pic 16],                                                          (1д)

приходим к следующей вычислительной задаче.

Вычислить значение [pic 17] по формулам (18) и (19) до выполнения условия (1д). За начальное приближение [pic 18] принять, например, [pic 19], где  [pic 20] -  нижняя граница интервала поиска оптимума.

2. Алгоритм решения задачи.

Схема алгоритма представлена на рис. 11. В ней через переменные x и x1 обозначены k - e и  k+1 -e приближения искомого оптимума.

[pic 21]

3. Тест. Выполним две первые итерации вычисления значения [pic 22](оптимума).

Для уменьшения объема «ручных» вычислений построим конечную формулу для [pic 23]

[pic 24]
       Таким образом:

при k=0, [pic 25]

[pic 26]

Вторая итерация:

[pic 27]

Так как

[pic 28]

то прочие вычисления точки [pic 29] максимума функции (17) должен быть предложен.

Заметим, что выражение (17) для целевой функции y позволяет также аналитическим методом найти точку оптимума, решая уравнение [pic 30]