Задачи по "Физике"

Задача 1

Точка движется по плоской кривой

[pic 1]                                                             (1)

с постоянной скоростью v = 5 м/с. Определить ускорение точки, радиус кривизны траектории и косинус угла касательной к траектории с осью ох при х = 3 м.

Решение

1. Находим зависимость между компонентами скорости. Дифференцируем (1) по t. Используя правило дифференцирования сложной функции получаем

           [pic 2]                                                         (2)

где

[pic 3]

при х=3 м, имеем [pic 4] и [pic 5]

1. Дополняя (2) уравнением vx 2 + vy 2 = v2, получаем систему уравнений, из которой находим компоненты скорости vx и vy :

[pic 6]  откуда [pic 7]

[pic 8]

1. Находим косинус угла касательной к траектории с осью ох:

[pic 9]

1. Находим зависимость между компонентами ускорения. Дифференцируя (2) по t, получаем

[pic 10]

где

[pic 11]

При x = 3 м вычисляем у" = -0,2 м -1. С учетом ранее найденной величины [pic 12], получаем

[pic 13]                                     (3)

5. Из условия v — const следует, что

[pic 14]

Решая это уравнение совместно с (3), находим проекции вектора ускорения:

[pic 15]

1. Вычисляем модуль ускорения:

[pic 16]

1. Находим радиус кривизны траектории:

[pic 17]

Задача 2

Точка движется по закону

[pic 18]                                (1)

при t1 = 0,3  с найти скорость, ускорение точки и радиус кривизны ее траектории.

Решение

1. Дифференцируя (1) по времени t, находим проекции скорости точки на оси х,у и z:

[pic 19]           (2)

при t=0,3 [pic 20]

1. Вычисляем модуль скорости

[pic 21]

1. Дифференцируя (2), находим компоненты вектора ускорения:

[pic 22]

при t=0,3   [pic 23]

1. Определяем модуль ускорения:

[pic 24]

1. Вычисляем модуль тангенциального ускорения:

[pic 25]

1. Вычисляем нормальное ускорение:

[pic 26]

7. Находим радиус кривизны траектории в указанном положении точки: