Задача по "Физике"

Дано:

Уравнение зависимости угла поворота от времени: φ = 1 + 2t – 2t³ (где φ - угол в радианах, t - время в секундах)

Время, для которого нужно определить параметры: t = 2 с

Нормальное ускорение точек на ободе колеса в момент времени t = 2 с: an = 200 м/с²

Решение:

Для решения данной задачи нам потребуется рассчитать угловую скорость, угловое ускорение, тангенциальное ускорение, полное ускорение и радиус колеса, а затем определить требуемый угол.

Определение угловой скорости ω' и углового ускорения ω''):

Угловая скорость ω' является первой производной от угла поворота φ по времени t:

[pic 1]

Угловое ускорение ω'' является первой производной от угловой скорости ω' по времени t, или второй производной от угла поворота φ по времени t:

[pic 2]

Наше уравнение для угла поворота:

[pic 3]

Найдем первую производную (угловую скорость):

[pic 4]

Теперь найдем вторую производную (угловое ускорение):

[pic 5]

Расчет угловой скорости и углового ускорения в момент времени t = 2 с:

Подставим t = 2 с в полученные выражения:

Угловая скорость в момент t = 2 с:

[pic 6]

Знак "минус" указывает на направление вращения, но для расчета ускорений важна абсолютная величина.

Угловое ускорение в момент t = 2 с:

[pic 7]

Знак "минус" указывает на то, что угловое ускорение направлено против направления вращения, то есть вращение замедляется.

Определение тангенциального ускорения aτ:

Тангенциальное ускорение aτ точек на ободе колеса связано с угловым ускорением ω'' и радиусом колеса R соотношением:

[pic 8]

Определение полного ускорения a и его составляющих:

Полное ускорение a любой точки, движущейся по окружности, складывается из двух составляющих:

Нормальное (центростремительное) ускорение an:

Направлено к центру окружности, перпендикулярно вектору скорости.

Тангенциальное ускорение aτ:

Направлено по касательной к траектории, характеризует изменение модуля скорости.

Полное ускорение a ищется по теореме Пифагора, так как an и aτ взаимно перпендикулярны:

[pic 9]

Определение радиуса колеса R:

Нам дано нормальное ускорение an = 200 м/с² в момент времени t = 2 с. Нормальное ускорение также связано с угловой скоростью ω' и радиусом R:

[pic 10] (или [pic 11], где [pic 12])

Мы уже рассчитали значение угловой скорости в момент t = 2 с:

[pic 13]. Используем это для нахождения радиуса:

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

Отсюда выражаем радиус R:

[pic 17]

Определение тангенциального ускорения aτ в момент t = 2 с:

Теперь, зная радиус R и угловое ускорение ω''(2), мы можем найти тангенциальное ускорение:

[pic 18]

Знак "минус" указывает на направление тангенциального ускорения. Его величина – ~9,912 м/с².

Определение угла, составляемого вектором полного ускорения с радиусом колеса:

Вектор полного ускорения a состоит из вектора нормального ускорения an, направленного к центру, и вектора тангенциального ускорения aτ, направленного по касательной. Радиус колеса R можно рассматривать как вектор, направленный от центра к точке на ободе. Этот вектор является направлением для нормального ускорения an.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный векторами an, aτ и a.

Вектор an направлен вдоль радиуса к центру.

Вектор aτ направлен перпендикулярно радиусу.

Вектор a является гипотенузой.

Угол α между вектором полного ускорения a и радиусом колеса (направление an) можно найти с помощью тригонометрии. Возьмем абсолютные значения ускорений.

[pic 19]

Мы знаем:

[pic 20] (дано)

[pic 21] (рассчитано)

[pic 22]

Найдем угол α, взяв арктангенс:

[pic 23]

Нормальное ускорение всегда направлено к центру. Тангенциальное ускорение направлено по касательной. Угол, который мы ищем, – это угол между вектором полного ускорения и вектором радиуса. Угол между a и an.

Через 2 секунды угол, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса, равен приблизительно 2,835 градуса. Радиус колеса составляет приблизительно 0,413 метра.

Построим графики зависимости углового ускорения, угловой скорости и угла поворота от времени:

[pic 24]

Покажем рисунок.

Найти:

Для точек, лежащих на ободе колеса, определить угол, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса через 2 секунды, если их нормальное ускорение в этот момент равно 200 м/с2. Определить радиус колеса. Построить графики зависимости углового ускорения, угловой скорости и угла поворота от времени.