Үлестіру параметрін статистикалық бағалау. Ығыспаған, толымды бағалаулар

9- тақырып. Үлестіру параметрін статистикалық бағалау. Ығыспаған, толымды бағалаулар. Бас жиын, таңдама орташаларын бағалау. Үлестірім параметрлерін нүктелік бағалау

        Дискретті немесе үзіліссіз сандық сипатты белгі  Х –тың үлестірімінің белгісіз параметрін [pic 1] деп белгілейік. Оның таңдама арқылы табылатын нүктелік бағасы [pic 2] болсын. Әртүрлі таңдамалар үшін өзгеріп отыратындықтан  [pic 3]- кездейсоқ шама болады.

        Анықтама. Егер [pic 4] болса, онда [pic 5]жылжымаған баға деп аталады, ал басқа жағдайда жылжыған баға деп аталады.

        Анықтама. Егер  [pic 6] болса, онда [pic 7]орнықты  баға деп аталады, бұл жерде [pic 8]- таңдама көлемі.

Таңдама арқылы табылатын нүктелік бағалар

        Бас орташаның  жылжымаған және орнықты нүктелік бағасы таңдамалық орташа болады.

        Бас дисперсияның  жылжыған бағасы таңдамалық дисперсия  болады, ал жылжымаған бағасы түзетілген  таңдамалық дисперсия [pic 9] болады, мұнда [pic 10], [pic 11]- таңдама көлемі.

1. Бас жинақтан мынадай таңдама алынған.

а) Бас орташаның жылжымаған бағасын табыңыз.

ә)  Бас дисперсияның  жылжыған және жылжымаған бағаларын табыңыз.

Шешуі. а) Таңдамалық  орташа  жылжымаған баға болады.

[pic 14]

 ә) Жылжыған баға ретінде  [pic 15],  ал жылжымаған баға ретінде [pic 16]алынады.

[pic 17]        [pic 18]

Моменттер әдісі

        Бұл әдіс бастапқы және орталық эмпирикалық моменттер өздеріне сәйкес бастапқы және орталық теориялық моменттердің орнықты бағалары болатындығына негізделген. Осы сәйкес моменттерді бір-біріне теңестіре отырып, үлестірімнің белгісіз параметрінің нүктелік бағалауларын табуға болады.

2. Көрсеткіш үлестірімнің [pic 19] белгісіз параметрі [pic 20]- ның нүктелік бағасын табыңыз.

Шешуі. Бастапқы  І - ші ретті эмпирикалық және теориялық моменттерді теңестіреміз:

[pic 21]

Көрсеткіш үлестірімнің бірінші ретті бастапқы моменті [pic 22], ал [pic 23]   болғандықтан [pic 24] теңдігін аламыз.

Осыдан белгісіз параметр [pic 25]-ның нүктелік бағасы   [pic 26] тең.

3. Берілген таңдама бойынша моменттер әдісін қолданып қалыпты үлестірімнің [pic 27][pic 28]белгісіз  [pic 29] және [pic 30] параметрлерінің нүктелік бағасын табыңыз.

 Шешуі. Бұл жағдайда екі  [pic 31] және [pic 32] белгісіз параметр болғандықтан бірінші, екінші ретті теориялық және эмпирикалық моменттерді теңестіреміз.    [pic 33]

 Ары қарай   [pic 34]және [pic 35]     екенін ескерсек, онда мынадай нүктелік бағалар аламыз

[pic 36]

4. Берілген таңдамасының сипаттамалары арқылы моменттер әдісімен бірқалыпты үлестірімнің

[pic 37]

белгісіз  a және b параметрлерінің нүктелік бағаларын табыңыз.

     Шешуі. Бірінші және екінші ретті эмпирикалық моменттерді теориялық моменттерге  теңестірейік, яғни   [pic 38]

Сонда  [pic 39] екенін ескере отырып мынадай теңдеулер жүйесін аламыз:       [pic 40] 

Осы жүйені шеше отырып, [pic 41] нүктелік бағаларын табамыз.

Неғұрлым шындыққа ұқсас әдіс

1. Х – дискретті кездейсоқ шамасы болып, [pic 42] болсын, [pic 43] [pic 44]- белгісіз параметр.

        Анықтама. Х кездейсоқ шамасының шындыққа ұқсас функциясы деп

                                 [pic 45]   

функциясын атайды.

        Сонда [pic 46] белгісіз параметрінің нүктелік бағасы ретінде [pic 47]   функциясына максимум әперетін [pic 48] мәнін аламыз, бұл баға неғұрлым шындыққа ұқсас баға деп аталады.

Ескерту: Есеп шығарған кезде  [pic 49] функциясын максимумге зерттеген ыңғайлы болады, себебі [pic 50] және [pic 51] функциялары Ө - нің бір мәнінде максимумге жетеді.