Численное интегрирование и дифференцирование

Министерство образования Российской Федерации

Липецкий государственный технический университет

Кафедра высшей математики

Отчет по лабораторной работе

по дисциплине  «Компьютерные методы прикладной математики»

на тему «Численное интегрирование и дифференцирование»

Выполнил:

Студент группы ВМ-15-1                                                Разумов И.Р.

Проверил:

Старший преподаватель                                                Шульмин А.С.

Оценка__________                                                        Дата___________

2016

Содержание

1. Методы численного дифференцирования функций        3

1.1. Дискретная функция. Методы односторонней разности        3

1.2. Метод двусторонней разности        4

1.3. Частное дифференцирование функции от многих переменных        5

1.4. Производная высоких порядков        5

2. Методы численного интегрирования        7

2.1. Задача численного интегрирования        7

2.2. Методы Ньютона-Котеса        9

2.2.1. Метод прямоугольников        9

2.2.2. Метод трапеций        10

2.2.3. Метод Симпсона        11

2.2.4. Семейство методов Ньютона-Котеса        12

3.        Вывод  программы        14

Приложение 1. Код программы - Численное интегрирование и дифференцирование         16

1. Методы численного дифференцирования функций

1.1. Дискретная функция. Методы односторонней разности

Существуют такие функции [pic 1], аналитическое вычисление производных которых представляет собой сложную задачу и более выгодным является численное дифференцирование.

Производная функции определяется выражением: 
[pic 2]     (1.1)

Заменяя приращение dx на конечную величину Δx, называемую шагом дифференцирования, получаем выражение:
[pic 3]                         (1.2)

Если дифференцируемая функция задана уравнением (рис.1.1), то для вычисления значения дифференциала необходимо получить значение функции [pic 4] в точке [pic 5] и в точке [pic 6]. После чего можно вычислить значение производной функции [pic 7].

[pic 8]
Рис.1.1.Непрерывная функция

Если функция задана выборкой, т.е. набором значений функции в точках (рис.1.2), то выражение для численного дифференцирования (при условии, что x образуют возрастающую последовательность) можно переписать          

в виде:
[pic 9]     (1.3)

Рис.1.2. Дискретная функция

Особенно такой подход актуален в том случае, когда набор данных имеет случайное распределение, для которого неизвестна подходящая функциональная зависимость.

Как видно из этих выражений, значение производной в точке [pic 11], оценивается по значению функции в этой точке и в следующей точке [pic 12]. Такой способ можно условно назвать правосторонней разностью. Нетрудно записать выражение для левосторонней разности:
[pic 13] или[pic 14]    (1.4)