Числовые множества. Абсолютная величина (модуль) действительного числа

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ, 1-й семестр

§ 1.Числовые множества. Абсолютная величина (модуль) действительного числа

1.1. Множества. Основные числовые множества

Множеством называется совокупность (собрание, класс, семейство) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку.

Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами.

Если x – элемент множества M, то пишут 𝑥 ∈ М.

Множество M задается следующим образом: 𝑀 = {𝑥|𝑥 удовлетворяет … } или 𝑀 = {𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 … }.

Если множества состоят из одних и тех же элементов, то они равны. Множества, состоящие из чисел, называются числовыми.

Примеры числовых множеств:

ℕ = {1,2, … }─ множество натуральных чисел;

ℤ = {0, ±1, ±2, … }─ множество целых чисел;

[pic 1] ─ множество рациональных чисел;

[pic 2] ─ множество действительных, или вещественных,

         чисел, реализуется в виде конечных или бесконечных (периодических и          непериодических) десятичных дробей.

[pic 3] [pic 4] 

Над элементами [pic 5]  можно выполнять операции сложения, вычитания, умножения, деления, удовлетворяющие определенному набору свойств.  

Каждому действительному числу ставится в соответствие точка прямой, на которой выбрано начало отсчета, направление и единица измерения. Такая прямая называется действительной осью.

[pic 6] – множество иррациональных чисел, то есть чисел, которые нельзя представить в виде  [pic 7].

Иррациональным числом называется действительное число, десятичная запись которого является бесконечной непериодической десятичной дробью. Например,

[pic 8], [pic 9], π, …

[pic 10]. 

1.2. Понятие абсолютной величины (модуля) действительного числа 

Определение 1. Абсолютной величиной или модулем действительного числа x называется неотрицательное число

x x,  0, x         . [pic 11]

x x,  0

Свойства абсолютной величины:

1. x  x x, x x,  x [pic 12]
2. x  y  x  y 
3. x y  x y 
4. xy  x  y 
5. x y  x        y y,  0 
6. x2  x 

Геометрический смысл модуля и модуля разности двух чисел: 

x равен расстоянию  от точки x до точки 0 на оси x,  x1  x2[pic 13] равен расстоянию между точками  x x1, 2 на оси x. Решение неравенства  [pic 14]x a[pic 15]  b:  a      b        x        a        b        x a        b a, b [pic 16]

Решение неравенства  [pic 17]x a[pic 18]  b:

        x a b  или x a b     x         ,a        b a b,                  [pic 19]

§ 2. Понятие функции действительной переменной