Энтропийный подход к определению оптимального числа многократных двухпараметрических измерений зависимых величин

ЭНТРОПИЙНЫЙ ПОДХОД К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ОПТИМАЛЬНОГО ЧИСЛА МНОГОКРАТНЫХ ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ ЗАВИСИМЫХ ВЕЛИЧИН

3.1. Определение вида закона двумерного распределения погрешности измерений

Повышение точности измерительных систем является необходимым условием улучшения качества продукции. Одним из методов увеличения точности измерительных систем, при использовании уже имеющихся измерительных преобразователей, является метод многократных измерений.

При оценке точностных свойств измерительных приборов из паспортных данных известно значение предельной погрешности (±β) во всём диапазоне измерения. При этом необходимо учитывать, что в пределах допустимых значений измеряемой величины точность средств измерений должна изменяться. Так в области середины поля допуска она может быть меньше, а по мере приближения к границам должна увеличиваться, чтобы уменьшить вероятность выхода за эти границы воспроизводимой величины.

Вследствие того, что прибор имеет погрешность, то при его показаниях, соответствующих предельным или близким к ним значениям измеряемой величины, ограниченной допуском, нельзя достоверно утверждать, что воспроизводимая величина находится в пределах этого допуска. Поэтому, чтобы получить достоверную информацию о том, что измеряемая величина находится в допустимых пределах, необходимо уменьшить поле допуска этой величины на значение удвоенной предельной погрешности прибора. Однако это значительно сужает область допустимых значений, что усложняет в целом технологический процесс. Указанный недостаток можно устранить, повысив точность результата измерения за счёт увеличения числа многократных измерений [21, 22, 87, 89]. Конечно, сама предельная погрешность средств измерения не меняется, и речь идёт об изменении дисперсии погрешности результата измерения, которая уменьшается при увеличении количества многократных измерений в n-раз, где n – число многократных измерений. Однако увеличение числа n ведёт к увеличению времени измерений, что снижает производительность выпуска продукции. Поэтому число измерений, а значит и объём снимаемой информации, должен быть минимально необходимым для обеспечения требуемой точности измерений.

Граничная оценка необходимого числа измерений может быть вычислена на основе максимума дифференциальной энтропии двумерной случайной величины, которой являются погрешности приборов. Результатом такого анализа является вид двумерной плотности распределения случайной величины, позволяющий получить граничную оценку необходимого числа измерений.

Рассмотрим задачу выбора минимально необходимого числа многократных двухпараметрических  измерений зависимых величин.

Основной сложностью является определение вида двумерной плотности распределения [pic 1] зависимых центрированных случайных величин, имеющих нулевое математическое ожидание [pic 2], [pic 3], являющихся погрешностями измерений по координатам [pic 4], при известных предельных значениях этих погрешностей [pic 5], [pic 6]. Кроме этого предполагается, что из статистических исследований известны [pic 7], [pic 8], [pic 9] – центральные моменты случайных величин [pic 10], [pic 11].

Математическая постановка задачи формулируется следующим образом.

Необходимо определить плотность [pic 12], доставляющую экстремум функционалу

[pic 13]        ,                        (3.1)

при ограничениях:

[pic 14]

Решение указанной задачи с ограничениями, включающими в себя моменты более высоких порядков, в диссертации не рассматривается.

В данном случае стоит вариационная задача на условный экстремум с изопериметрическими ограничениями.

Чтобы учесть при решении данной задачи ограничения, в соответствии с методом множителей Лагранжа составим функцию:

...