Комплексні числа

Тема 2: Комплексні числа

Урок 1(лекція): Поняття комплексного числа. Основні співвідношення

Комплексні числа не є числами в елементарному значенні цього слова, що застосовуються при підрахунках і вимірюваннях, а є математичними об'єктами, які визначаються поданими нижче властивостями.

Комплексне число позначається символом а + bі, де а і b - дійсні числа, які називаються відповідно дійсною i уявною частинами комплексного числа а + bі, а символ і, визначений умовою і2 = –1, називається уявною одиницею.

Звичайно комплексне число а + bі позначають однією буквою (найчастіше z): z = а + bі.

Дійсну і уявну частини комплексного числа z = а + bі позначають Re z і Im z відповідно:

а = Re z,   b = Iт z.

Комплексні числа [pic 1] і [pic 2] вважаються рівними, якщо рівні їхні дійсні й уявні частини [pic 3]. Комплексне число z = а + bі вважається рівним нулю, якщо його дійсна і уявна частини дорівнюють нулю (а = b = 0). Комплексне число z = а + bі при b = 0 вважається таким, що збігається з дійсним числом а (а + 0і = а),а при а = 0 вважається суто уявним і позначається bi (0 + bі = bі).

Урок 2 (лекція): Алгебраїчна форма комплексного числа. Дії над коплексними числами в алгебраїчній формі.

Алгебраїчною формую комплексного числа називать наступний запис виду: z = а + bі.

Сумою комплексних чисел [pic 4] і [pic 5] є комплексне число ζ, дійсна частина якого дорівнює сумі дійсних частин, а уявна частина - сумі уявних частин, тобто

[pic 6].

Про число z кажуть, що його дістали внаслідок додавання комплексних чисел z1, і z2, і записують [pic 7].

Числа z1, і z2 звуть доданками

Властивості операції додавання комплексних чисел:

1) асоціативність: [pic 8];

2) комутативність: [pic 9].

Комплексне число [pic 10] називається протилежним комплексному числу [pic 11]. Комплексне число, протилежне комплексному числу z, позначається [pic 12]. Сума комплексних чисел z і [pic 13] дорівнює нулю [pic 14].

Різниця комплексних чисел [pic 15] і [pic 16] є комплексне число z, що є сумою числа z1 і числа протилежного z2

[pic 17],

тобто комплексним числом, дійсна і уявна частини якого дорівнюють відповідно різниці дійсних і уявних частин зменшуваного і від'ємника. Про число z кажуть, що його дістали внаслідок віднімання комплексного числа z2 від комплексного числа z1, і записують [pic 18].

Добутком комплексних чисел [pic 19] і [pic 20] є комплексне число:

[pic 21].

Про число z кажуть, що його дістали внаслідок множення комплексного числа z1 на комплексне число z2, і записують

[pic 22].

Числа z1 і z2 називають співмножниками.

Властивості операції множення комплексних чисел:

1) асоціативність: [pic 23];

2) комутативність: [pic 24].

Часткою двох комплексних чисел z1 і z2 [pic 25] є таке комплексне число z, що [pic 26]. Частку комплексних чисел [pic 27] і [pic 28] обчислюють за формулою

[pic 29].