Численные методы Гаусса
Автор: Денис Цыплаков • Ноябрь 10, 2022 • Контрольная работа • 509 Слов (3 Страниц) • 154 Просмотры
Задание 1
Решить следующую систему методом Гаусса. АХ = b. Где:
[pic 1]
Найти [pic 2]
Решение
Рассмотрим алгоритм метода Гаусса. Пусть дана система уравнений:
[pic 3]
При решении методом Гаусса система приводится к ступенчатому виду:
[pic 4]
Для решения уравнения методом Гаусса необходимо знать, как выполняются элементарные преобразования систем линейных уравнений. Таких преобразований имеется четыре типа:
1. Умножение обеих частей уравнения на любое ненулевое число.
2. Перестановка уравнений системы местами.
3. Добавление (или вычитание) к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженного на любое ненулевое число.
4. Удаление нулевых строк.
Общие зависимости прямого хода для расширенной матрицы:
Ведущее уравнение не изменяется.
Для последующих уравнений [pic 5] , i = k + 1,…, n; j = k + 1,..., n.
Обратный ход начинается с вычисления последнего неизвестного системы линейных уравнений и заканчивается вычислением первого неизвестного. При обратном ходе используются только строки прямого хода.
Формулы обратного хода для полученной матрицы [pic 6]
i = n – 1,…,1
Запишем расширенную матрицу:
[pic 7]
Прямой ход:
Выполняем первый шаг:
Первую строку умножаем на (-1).
Из второй строки, умноженной на 2, вычитаем первую строку, умноженную на 3.
К третьей строке, умноженной на 2, прибавляем первую строку, умноженную на 5.
Из четвертой строки, умноженной на 2, вычитаем первую строку, умноженную на 4.
Получим расширенную матрицу.
[pic 8]
Выполняем второй шаг:
Умножаем третью строку на (-1) и меняем со второй строкой.
Делим четвертую строку на 2.
Получим расширенную матрицу.
[pic 9]
Из третьей строки вычитаем вторую строку, умноженную на 3.
Из четвертой строки вычитаем вторую строку.
Получим расширенную матрицу.
[pic 10]
Выполняем третий шаг:
Умножаем третью строку на (-0.05)
К четвертой строке прибавляем третью строку.
Получим расширенную матрицу.
[pic 11]
Прямой ход окончен.
Выполняем обратный ход:
[pic 12]
Получено решение:
[pic 13]
Проверка в MathCAD:
[pic 14]
Вывод: решение методом Гаусса найдено верно.
Задание 2
Решить следующую систему методом прогонки. АХ = b. Где:
...