Формула полной вероятности. Формула Байеса

Параграф 7. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий: H H H1,        2,...,        n, образующих полную группу несовместных событий.  Эти события называют гипотезами.  В этом случае вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности: 

        P A PH P A H PH P A H( ) = ( 1)        (        /        1)+ (        2)        (        /        2)+ +... PH P A H( n)        (        /        n) [pic 1]

n

        или P A( ) =PH P A H( i )        ( /        i ). [pic 2]

i=1

Если до опыта, вероятности гипотез были PH PH( 1),        (        2),...,PH( n) , а в результате опыта появилось событие А, то с учетом этого события условные вероятности гипотез пересчитываются по формуле Байеса: 

        P H(        i / A) =        = n

        P H P A H(        i P A) (( ) /        i ) P H P A HP H(( i ) (i ) P A H(/ / i ) i ) ,        i =1..n [pic 3]

i=1

Формула Байеса дает возможность пересчитать вероятности гипотез с учетом наблюдаемого результата опыта. Вероятности гипотез, принятые до опыта, называют априорными (доопытные лат.), а пересчитанные — апостериорными (послеопытные).

(по желанию, можете доказать эти две формулы)))

Пример:  1) Некоторое изделие выпускается 3  заводами. 1 завод выпускает 30% всей продукции; 2 — 60%; 3 — 10%. Доля брака: на заводе 1 — 5%; 2 — 1%; 3 — 2%. Изделия перемешали и пустили в продажу. Найти вероятность того, что приобретенное изделие окажется бракованным.  

H1 — изделие изготовлено 1 заводом

H2— изделие изготовлено 2 заводом

H3— изделие изготовлено 3 заводом

        PH( 1) = 0,3 PH(        2) = 0,6 PH(        3) = 0,1.

Контроль: P H( 1)+P H( 2)+P H( 3) =1 Событие А — купленная деталь бракованная.

        P A H(        /        1) = 0,05 P A H(        /        2) = 0,01 P A H(        /        3) = 0,02 

По формуле полной вероятности

        P A PH P A H PH P A H( ) = ( 1)        (        /        1)+ ( 2)        (        /        2)+

        +PH P A H( 3)        (        /        3) = 0,30,05+0,60,01+0,10,02 = 0,023[pic 4]

2) Купили бракованную деталь. Найти вероятность того, что куплена деталь, выпущенная 2 заводом.

В предыдущей задаче мы нашли вероятность того, что куплена бракованная деталь: P A( ) = 0,023. По формуле Байеса P H( 2 ) (P A H/ 2 ) 0,6 0, 01 0,26 . [pic 5]