Формула Тейлора

ЛЕКЦИЯ 9

                                                  Формула Тейлора

Формула Тейлора для многочлена

Пусть [pic 1] - многочлен степени n по степеням [pic 2], т.е.                                  

                    [pic 3].                      (1)

Отметив, что первый член правой части этой формулы есть постоянная, а производная постоянной равна 0, возьмем производную от обеих частей:

[pic 4].

Первый член правой части этой формулы (при [pic 5]) есть постоянная [pic 6], производная которой равна 0, снова дифференцируем равенство по х:    

[pic 7].

И т.д. В общем виде получаем, что

[pic 8].

Подставим в эту формулу [pic 9]. При этом все члены правой части, кроме первого (при [pic 10]) будут равны 0, и мы получим, что  

[pic 11],   откуда     [pic 12]

Заменяя здесь [pic 13] на [pic 14], имеем равенства для коэффициентов формулы (1):                                                  

                                                             [pic 15]                                              (2)                                            

Подставляя эти коэффициенты в формулу (1), имеем:

                                                             [pic 16]                                           (3)

Формула (3) называется формулой Тейлора для многочлена.

Формула Тейлора для n + 1 раз дифференцируемой функции

Пусть функция y = f(x)  n+1 раз дифференцируема в некоторой окрестности точки [pic 17], т.е. имеет в этой окрестности все производные до порядка n + 1 включительно. Тогда формула (3) не может быть верной, так как в левой ее части произвольная функция, а в правой – многочлен. Нужно эту формулу как-то «подправить». Возьмем некоторый х из нашей окрестности и положим

                                                  [pic 18]                                           (4)

где [pic 19] так называемый остаточный член формулы Тейлора.

Возможны различные формы записи остаточного члена, мы рассмотрим только две из них. Сначала будем искать остаточный член в виде, похожем на следующее слагаемое из правой части формулы (4).

Теорема 1. Если функция [pic 20] n + 1  раз дифференцируема в некоторой окрестности точки [pic 21], то для всех х из этой окрестности

[pic 22]          (5)   с – точка между [pic 23] и х, которую еще можно записать в виде [pic 24], [pic 25]. Формулу (5) называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Из-за довольно сложных выкладок доказательство этой теоремы мы здесь приводить не будем.

Замечания.

1. Смысл формулы Тейлора состоит в том, что с точностью до остаточного члена функция в окрестности точки [pic 26] представляется в виде многочлена по степеням [pic 27], а многочлен изучать проще, чем произвольную функцию.

2. Остаточный член в форме Лагранжа имеет тот же вид, что предыдущие члены формулы, но производная берется уже не в точке [pic 28], а в промежуточной точке с.

3. Отбросив  в   (5)  остаточный   член,  получим  формулу   для   приближенных

вычислений [pic 29], погрешность которой равна остаточному члену [pic 30], где с – промежуточная точка между [pic 31] и х. Хотя точно значение с определить нельзя, мы можем оценить погрешность, т.е. указать, чего она, заведомо, не превосходит.  

В качестве примера рассмотрим задачу приближенного вычисления [pic 32], которая уже решалась при помощи понятия дифференциала. В нем был получен ответ [pic 33], причем погрешность вычислений оценить мы тогда не могли. Теперь мы можем продвинуться гораздо дальше: