Тізбектің шегі жөніндегі негізгі теоремалар

1.4. Тізбектің шегі жөніндегі негізгі теоремалар. Мұнда шекке көшу ережелерін карастырамыз.

1°. Тррақты санның іиегі өзіне тең: Iim с = с.

2°. Қосындының иіегі иіектердің қосындысына тең:

Iim (αn + bn) = Iim an + Iim bn.

3°. Көбейтіндінің іиегі иіектердің көбейтіндісіне тең: Iim (αn ∙ bn) = Iim an ∙ Iim bfl.

40. Ezep бөлімі нөлге тең болмаса, онда бөліндінің шегі шектердің a Iim ап

бөліндісіне тең: Iim — =        —.

π-" bn Iimdn

Салдар. Турақты көбейткіиіті іиек таңбасының алдына шыга- руга болады: Iim (с ■ an) = с ∙ Iim ап.

Ескерту. Бұл түжырымдардағы шектерді бар деп есептеу керек. Erep мұндағы шектердің кем дегенде біреуі жок болса, онда екінгпі, үшінші және төртінші қасиеттер орындалмайды.

Дәлелдеуі. 1°. с тұрақты санын тұрақты тізбек ретінде қарас- тырамыз: с, с, с        с,...» яғни а=с. Сондықтан Iim с = с.

2°. Айталык, Iim an = а және Iim bn = b болсын. Онда теорема 4 бойынша αn және βn шексіз аз шамалары табылып, an=a+an және dn=d+βn теңдіктері орындалады. Осыдан an÷dn=(a+an)+(d+βn)= = (a+d) + (an+βn) an+βn- шексіз аз шама болғандыктан,