Сравнение односторонних поверхностей: лента Мебиуса, бутылка Клейна. Свойства топографических объектов

Тема: «Сравнение односторонних поверхностей: лента Мебиуса, бутылка Клейна. Свойства топографических объектов»

Можно ли сказать, что мир, в котором мы живем, до конца изведан? Абсолютно нет, так как тайны и загадки, ответы на которые до сих пор не найдены, окружают нас повсюду. Сложно представить современный мир без геометрии в нем. Небоскребы, реактивные ракеты, подводные лодки, памятники архитектуры – все это имеет  геометрические формы. Поэтому важно познавать окружающий мир и знать о нем как можно больше!

Данная работа является актуальной, так как наука математика наполнена тайнами, которые не включены в школьную учебную программу. Но в основе многих полезных изобретений лежат данные секреты, поэтому знание их просто необходимо. Исследования показывают необходимость познаний математики вне страниц учебника, что способствует осуществлению межпредметных связей.

Объектом исследования является лист Мебиуса и бутылка Клейна как примеры односторонней поверхности.

Предметом исследования являются свойства односторонней поверхности, рассмотренные на примере листа Мебиуса и бутылки Клейна.

Методы исследования: изучение и сбор информации в математической литературе, интернет-сайтах; практический эксперимент.

Целью работы является определение и проверка удивительных свойств топологических фигур на примере ленты Мебиуса и бутылки Клейна.

Задачи исследования:

1. изучение литературы;
2. анализ свойств листа Мебиуса и его изготовление;
3. анализ свойств бутылки Клейн и ее изготовление;
4. сравнение свойств бутылки Клейна с листом Мебиуса.

Топология – новая математическая наука. Она изучает такие свойства произвольных геометрических образов, которые неизменны при взаимно однозначных и взаимно непрерывных преобразованиях. Ведь тополог имеет право скручивать, сгибать, растягивать фигуру, словом – делать что угодно с ней, только не разрывать и не склеивать. И будет считаться, что фигура осталась неизменной, с точки зрения топологии, потому что общие свойства фигуры являются неизменными при таких преобразованиях. Поэтому топологию также называют «геометрией непрерывности».

Лист (или лента) Мебиуса – один из объектов топологии; является простейшей односторонней поверхностью с краем, односторонняя в обычном трёхмерном евклидовом пространстве R3. Возможно, что лист Мебиуса считается простейшей поверхностью, благодаря простоте его создания. Если свернуть полоску бумаги в кольцо и склеить концы, то она, как была двусторонней, так и останется. Но если перед склеиванием  перекрутить один из концов, получится лист Мебиуса. Его свойства независимо друг от друга открыли два немецких математика – Август Фердинанд Мебиус и Иоганн Бенедикт Листинг, описавшие их в 1862–1865 годах.

Условно лента Мебиуса различается по стороне ее сворачивания: по часовой стрелке и против (правая и левая). Но это деление является условным, так как различить тип с первого взгляда невозможно.

Существует мнение, что данная загадочная фигура является прообразом знака бесконечности. Но оно является ошибочным, потому что этот символ использовали задолго до открытия ленты Мебиуса. Но единый смысл явно присутствует. Мистики называют ленту Мебиуса символом двойственного восприятия единого. Фигура словно говорит о взаимопроникновении, взаимосвязанности и бесконечности всего в нашем мире.

Несмотря на простоту создания ленты Мебиуса, фигура имеет ряд удивительных свойств.

1. Односторонность.

Август Мебиус в своей работе «Об объеме многогранников» описал одностороннюю поверхность – ленту Мебиуса, выявив, что фигура имеет только одну сторону. В этом можно убедиться, начав закрашивать ленту в одном направлении. Вскоре лента будет окрашена с обеих сторон (для этого мы ее даже не переворачивали).

1. Непрерывность

На листе Мебиуса любая точка может быть соединена с другой точкой, и при этом не придётся переходить через край «ленты». Разрывов нет – непрерывность полная. Так муравью, ползущему по листу Мебиуса, нет необходимости переползать через край, чтобы попасть на обратную сторону. Это наглядно можно увидеть на гравюре художника Маурица Эшера «Лента Мёбиуса II».