Системы случайных величин

Глава 3. Системы случайных величин

3.1. Понятие о системе случайных величин и законе ее распределения

N-мерной случайной величиной или системой n случайных величин называется упорядоченный набор [pic 1]случайных величин [pic 2] [pic 3], заданных на одном и том же пространстве элементарных событий [pic 4].[pic 5]

Одномерные случайные величины [pic 6] называются компонентами или составляющими n-мерной случайной величиной [pic 7]. Их удобно рассматривать как координаты случайной точки или случайного вектора [pic 8]в пространстве n измерений.

Двумерной случайной величиной или системой двух одномерных случайных величин [pic 9] и [pic 10] называется упорядоченная пара [pic 11] двух случайных величин [pic 12]и [pic 13].

Систему [pic 14] можно изобразить случайной точкой [pic 15]или случайным вектором [pic 16] (рис.36 и 37).[pic 17]

[pic 18]

Система [pic 19] есть функция элементарного события [pic 20]. Каждому элементарному событию [pic 21] ставится в соответствие два действительных числа [pic 22] и [pic 23] (или [pic 24]и[pic 25]) – значения[pic 26] и [pic 27](или [pic 28]и[pic 29]). В этом случае вектор [pic 30] называется реализацией случайного вектора [pic 31].

Пример 3.1. В урне 4 шара: 2 белых, 1 черный, 1 синий. Из нее наудачу извлекают два шара. Пусть случайная величина  – [pic 32]число черных шаров в выборке, случайная величина -  [pic 33]число синих шаров в выборке. Составить закон распределения для системы [pic 34]. Найти законы распределения [pic 35] и [pic 36].

Случайная величина [pic 37]может принимать значения [pic 38][pic 39]случайная величина [pic 40]- значения [pic 41][pic 42]. Вычислим соответствующие вероятности: [pic 43][pic 44] [pic 45][pic 46] Таблица распределения системы [pic 47]имеет вид:

Отсюда следует: [pic 57][pic 58][pic 59][pic 60] Законы распределения составляющих [pic 61]и [pic 62] имеют вид:

3.2. Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства

Функцией распределения («интегральной функцией») является универсальная форма задания распределения двумерной случайной величины , пригодная как для дискретной, так и для непрерывной случайной величины, обозначаемая [pic 75]или просто [pic 76].

Функцией распределения двумерной случайной величины [pic 77]называется функция [pic 78], которая для любых действительных чисел [pic 79]и [pic 80]равна вероятности совместного выполнения двух событий [pic 81] и [pic 82].

Таким образом, по определению

[pic 83]  (3.2)

(Событие [pic 84] означает произведение событий [pic 85] и [pic 86]).

Геометрически функция [pic 87] интерпретируется как вероятность попадания случайной точки [pic 88] в бесконечный квадрат с вершиной в точке [pic 89], лежащий левее и ниже ее (рис. 39)