Сепарабель кеңістіктер. Ашық және тұйық жиындар

МӨЖ

Тақырыбы:Сепарабель кеңістіктер. Ашық және тұйық жиындар

Сепарабельді кеңістіктер және оған мысалдар

1- а н ы қ т а м а . Егер X жиынымен N натурал сандар жиыны тең тұрпатты жиындар болса, онда X жиыны саналымды ақырсыз жиын деп аталады. Ақырсыз саналмайтын жиындарды саналымсыз ақырсыз жиындар деп атайды.

Мысалы, X = Q рационал сандар жиыны - саналымды ақырсыз жиын, өйткені Q мен N сандар жиынының арасында өзара бірмәнді сәйкестік

[pic 1]

табылады. Сондықтан, олар – тең тұрпатты жиындар.

2- а н ы қ т а м а . Егер Е метрикалық кеңістігіне барлық жерде тығыз ішкі саналымды жиын табылатын болса, онда Е метрикалық кеңістігін сепарабельді метрикалық кеңістік деп атайды.

2’ - а н ы қ т а м а . Е метрикалық кеңістігін сепарабельді кеңістік деп атайды, егер де Е метрикалық кеңістігінен тізбекшесі Е метрикалық кеңістігінің х элементіне жинақталатын {xn} тізбегі табылатын болса, яғни

[pic 2]

1 - м ы с а л . R нақты сандар  жиыны  -  сепарабельді  кеңістік, өйткепі Q рационал сандар  жиыны  -  R  кеңістігіне  барлық  жерде  тығыз ішкі саналымды жиын.

2 - м ы с а л . Rm- m өлшемді кеңістік  -  сепарабельді  кеңістік, өйткені Rm кеңістігінің рационал сандардан тұратын нүктелер жиыны – Rm кеңістігіне барлық жерде тығыз ішкі саналымды жиын.

3- м ы сал .  С [ 0 ,1]  -  үзіліссіз  функциялар  кеңістігі  - сепарабельді кеңістік,  өйткені  коэфициенттері  рационал   сандардан тұратын С0  барлық көпмүшеліктер жиыны - С[0,1] кеңістігіне барлық жерде тыгыз ішкі саналымды жиын.

Д ә л ел д е у і.

1)        С0 жиыны - саналымды жиын;

2)        x(t) Е C [ 0 ;1] болсын, онда Вейерштрасс теоремасы  бойынша [pic 3]

      (s > 0)(P ( t) )(  t  [0,1]) : p Е ( P ( t ) , x ( t ) ) = [pic 8][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

3)        екінші жағынан

      (s > 0)(P0 ( t) )(  t  [0,1]) : p Е ( P0 ( t ) , x ( t ) ) = [pic 13][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

Сондықтан, (2)-(3) пунктінен мынаны аламыз:

      (s > 0)(P0 ( t) )(  t  [0,1]) : p Е ( P0 ( t ) , x ( t ) ) =[pic 18][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

oo

4 - м ы с а л . [pic 19] ден элементтері нақты сандардан құралган және осы элементтердің модульдерінің р дәрежесінен құралатын қатар жинақталатын барлық сан тізбектерінен тұратын жиынды белгілейік. lp  кеңістігінің сепарабельді кеңістік болатынын дәлелдеңдер.

Д ә л е л д е у і.

1)        [pic 20], мүндағы ri -  кез  келген рационал сандар, ал n - кез келген натурал сан. Бүл жиын – саналымды  жиын.

2)        X жиыны lp ксңістігіне барлық жерде тыгыз ішкі жиын болатындыгын көрсстейік. [pic 21]  болсын. [pic 22] жинақталатын қатар болгандықтан, [pic 23]

( R n- қатардың қалдық мүшесі), яғни

[pic 24]

3)        [pic 25] болатындай етіп  ,[pic 26] элементін тандап аламыз.

4)        X жиынынан алынган x0 нүктесімен lp - дан алынған х нүктесінің ара қашықтыгын қарастырайық:

[pic 27]

Бүдан,  рE (х , х0)  <  .  Бұл  дегеніміз  1- анықтама  бойынша  X  жиыны lp кеңістігіне барлық жерде тығыз жиын болатындыгын  көрсетеді.  Сонымен, X жиыны - lp  кеңістігіне барлық жерде тығыз саналымды жиын. Олай болса, 2 - анықтама бойынша  - lp сепарабельді кеңістік.[pic 28]