Решение систем линейных алгебраических уравнений
Автор: Daria Merzlikina • Июнь 20, 2023 • Лабораторная работа • 1,606 Слов (7 Страниц) • 141 Просмотры
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования
«Тульский государственный университет»
Институт прикладной математики и компьютерных наук
Кафедра «Вычислительной механики и математики»
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1
«РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ»
Вариант 1
Выполнил: студент гр. 220391 Е.А. Абрамова
Проверил: доцент А.В. Малик
Тула, 2021
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ …………………………………………………………………... | 3 |
ЗАДАНИЕ НА ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ ………………………………… | 5 |
Глава 1. Решение систем линейных алгебраических уравнений точными методами ……………..………..……………………………………………... | 6 |
1.1 Решение системы линейных уравнений методом исключения Гаусса..…………………………………………………………………….. | 6 |
1.2 Решение системы линейных уравнений методом исключения Гаусса с выбором главного элемента …………………………………… | 7 |
1.3 Решение системы уравнений методом Холецкого …………………. | 8 |
1.4 Оценка качества процесса …………………………………………… | 10 |
1.5 Оценка абсолютной погрешности …………………………………... | 11 |
1.6 Сравнение точных методов решения системы линейных уравнений …………………………………………………………………. | 12 |
Глава 2. Решение систем линейных алгебраических уравнений итерационными методами …………………………………………………... | 12 |
2.1 Решение системы уравнений методом простой итерации ………… | 12 |
2.2 Решение системы уравнений методом Зейделя ……………………. | 15 |
2.3 Сравнение точных методов решения системы линейных уравнений …………………………………………………………………. | 16 |
ВЫВОД ……………………………………………………………………….. | 16 |
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ………………………... | 17 |
ВВЕДЕНИЕ
К точным (прямым) относят методы, в которых решение получается за конечное число действий. Наиболее распространенными являются методы исключения на основе алгоритма Гаусса, а также методы факторизации (схема Холецкого). В обоих случаях решение содержит два этапа:
- приведение системы к специальному виду
- собственно нахождение вектора решения.
В методах исключения на основе схемы Гаусса на первом этапе система уравнений в ходе эквивалентных преобразований приводится к треугольному виду, а затем последовательно из рекуррентных соотношений находятся решения системы, начиная с последнего. Существуют разновидности метода: метод исключения с выбором ведущего элемента, метод Жордана. Эти методы ориентированы на снижение погрешностей вычислений и уменьшение требований к необходимым ресурсам.
В методах факторизации матрица системы приводится к треугольному виду посредством различных схем преобразований, что позволяет задачу нахождения решений систем линейных алгебраических уравнений свести к двум последовательно решаемым системам уравнений со специальными треугольными матрицами.
Погрешность точных методов, обуславливается только погрешностями округлений в ходе алгебраических операций и может быть оценена по величине абсолютной погрешности, получаемой в ходе повторного решения системы с использованием вектора невязки.
...