Рационал теңдеулер жүйесі

Рационал теңдеулер жүйесі

Жоспар:

1. Негізгі ұғымдар.
2. Рационал теңдеулер жүйесін шешудің негізгі әдістері.
3. Біртектес жүйелер.
4. Симметриялы жүйелер.

1. Екі х және у айнымалыларынан тәуелді бірнеше теңдеу жүйе құрайды, егер осы берілген теңдеулердің әрқайсысын қанағаттандыратын (х:у) жұптарының барлығын табу есебі қойылса. Осындай әрқайсысы жұп жүйесінің шешуі деп аталады. Теңдеулер жүйесін шешу дегеніміз – оның барлық шешулерін табуды білдіреді. Кей жағдайларда теңдеулер жүйесінің шешуі бос жиын болуы мүмкін, бұл жағдайда жүйесінің шешуі жоқ немесе бұл жүйе үйлесімсіз деп айтамыз.

Екі х және у айнымалыларынан тәуелді бірнеше теңдеулер жүйесі х жүйелер жиынтысын құрайды, егер осы берілген теңдеулер жүйесінің ең болмаса біреуін қанағаттандыратын (х;у) жұптарын табу есебі қойылса. Мұндай әрбір жұп теңдеулер жүйелері жиынтығының шешуі деп аталады.

Екі теңдеулер жүйесі өзара мәндес болады, егер олардың шешулерінің жиыны бір-бірімен дәл келсе. Екі жүйе мәндес болады сонда, тек сонда ғана, егер екінші теңдеу жүйесі бірінші теңдеу жүйесінің салдары болса және бірінші теңдеу жүйесі екінші теңдеу жүйесінің салдары болса. Осыдан, дербес жағдайда мынаны аламыз: егер теңдеулер жүйесіне берілген жүйесінің салдары болып табылатын бір теңдеуді қоссақ, онда алынған жаңа жүйе берілген жүйемен мәндес болады. Егер жүйенің қандай да бір теңдеуін жазбасаң (опустить), онда да алынған теңдеулер жүйесі берілген жүйемен мәндес болады.

Мысал 1. Теңдеулер жүйесін шешіңіздер:

         (1)[pic 1]

Шешуі: (1) жүйенің теңдеулерін көбейтіп, алғашқы жүйенің салдары болып табылатын жүйе аламыз:

         (2)[pic 2]

(2) жүйесінің екінші теңдеуді қарапайым теңдеулерден кейін ху=8 теңдеуіне келеді және біз (2) жүйесінің салдары болып табылатын жүйе аламыз:

         (3)[pic 3]

Енді жүйенің екінші теңдеуінен бірінші теңдеуін алып, мына жүйені аламыз:

                 (4)[pic 4]

(4)-жүйе (3) жүйесінің салдары болып табылатын (4)-жүйенің теңдеулерін көбейтіп, мынадай жүйе аламыз:

                 (5)[pic 5]

(5)-жүйе (4)-жүйесінің салдары болып табылады:

[pic 6]

[pic 7]

Тексеру: (5)-жүйе (1)-жүйесінің салдары болып табылатындықтан табылған шешулерді тексеру қажет. Орнына қою әдісі тексеру болып табылады.

Жауабы: (4:2), (-4:-2).

Теңдеулер жүйесін шешудің негізгі үшінші әдісіне тоқталайық:

• жүйені сызықтық түрлендіру әдісі;
• орнына қою әдісі;
• айнымалысын алмастыру әдісі.

Жүйені сызықтық түрлендіру әдісі мына келесі теоремаға негізделген. Теорема 4: Егер  болса, онда[pic 8]

 жүйесі [pic 9][pic 10]

жүйесімен мәндес болады.

Дербес жағдайда, егер a1=1, a2=0, b1=1, b2=±1 болса, онда берілген жүйемен мәндес

 [pic 11]

жүйе аламыз.

Орташа қою әдісі мына келесі теоремаға негізделген. Теорема 5:

 [pic 12]

теңдеулер жүйесі мына жүйемен мәндес:

. [pic 13]

Келесі жүйелер мәндес болады:

  және .[pic 14][pic 15]

Айнымалыны алмастыру әдісінің мәні мынада: егер

[pic 16]

болса, онда

 жүйесін  [pic 17][pic 18]

жаңа айнымалыларының көмегімен былайша жазуға болады:

 [pic 19]

– соңғы жүйесінің шешуі болса, онда есеп келесі жүйелер жиынтығын шешуге кесіліп тіреледі.

[pic 20]

Бұл жиынтықтың шешуі:

[pic 21]

жүйесінің шешуі болып табылады.