Развитие понятия интеграла Стилтьеса

Развитие понятия интеграла Стилтьеса

Интеграл Стилтьеса— обобщение определённого интеграла, предложенное в 1894 Т. Стилтьесом и состоящее в том, что вместо предела обычных интегральных сумм рассматривается предел сумм, где «интегрирующая функция» φ(x) есть функция с ограниченным изменением.

Подробно о понятии интеграла Стилтьеса и немного о его развитии описано в книге Гливенко. В.И. «Интеграл Стилтьеса» 1936 г. Автор стремился сделать её доступной к пониманию для аспирантов, студентов-математиков, механиков и физиков. Поставив в особое положение детальное изучение интеграла Стилтьеса, автор ведет нас к глубокому пониманию самих концепций интеграла. Вступление книги начинается со слов: «В 1894 г. Голландский математик Стилтьес дал обобщенное определение интеграла, дальнейшее развитие которого привело к полному преобразованию теории интеграла и вывело ее далеко за пределы классических задач интегрального исчисления». На передний план Гливенко В.И. вынес проблемы решаемые интегралами: проблему измерения площади плоской фигуры – для интеграла Римана, а также проблему нахождения моментов некоторой массы на прямой – для интеграла Стилтьеса. С помощью сумм Д’арбу профессор знакомит нас с понятием интеграла Стилтьеса, определенного при помощи интеграла Римана - в первом параграфе. А в пятом параграфе рекомендует положить в основу определение интеграла как предела сумм. В главе под номером восемь математик стремится ознакомить читателей с определением интеграла Стилтьеса в анализе, при помощи понятия меры. В заключительной главе автор предлагает получить представление о первоначальном определении интеграла, которое было предложено самим Стилтьесом. А затем формирует его существенное отличие от современного определения в терминах последовательностей.

Более подробно о развитии интегралов, в частности развитии интеграла Стилтьеса написано в книге Медведева Ф.А. «Развитие понятия интеграла». В начале книги автор повествует: «В монографии рассматривается развитие понятия интеграла от появления начатков интеграционных приемов до формирования понятия интеграла Лебега-Стилтьеса. Изложение тесно связывается с развитием анализа и его приложениями, различные обобщения понятия интеграла представляются как необходимые следствия развития анализа и теории функций». Историк пишет: «Развитие понятия интеграла в самом общем значении этого слова является в значительной степени развитием математики в целом. История понятия интеграла теснейшим образом связана с историей математики вообще». Далее автор указывает на непосредственную связь развития понятия функции и понятия интеграла. Конкретнее об интеграле Стилтьеса рассматривается в главе под номером семь. Медведев Ф.А. отмечает, что введение интеграла Стилтьеса, ровно как и последующая его разработка, связана с проблемой моментов на интервале. В данном случае привлечение интеграла Стилтьеса для постановки и решения проблемы этих моментов целесообразно. Затем историк описывает соображения П.Л. Чебышева и А.А. Маркова по этому поводу. Во втором параграфе автор знакомит нас с ранними исследованиями Стилтьеса, подводящими его к обобщению понятия интеграла. Разбор Медведев начинает с его ранней статьи о механических квадратурах, где установлена связь между цепной дробью и интегралом Стилтьеса. В четвёртом параграфе историк указывает на независимые исследования Кёнингом, приведшие к более полному понятию интеграла Стилтьеса, которое является понятием интеграла Римана-Стилтьеса. К тому же автор отмечает связь интеграла Стилтьеса и линейных функционалов, исследования Юнга, Фреше, Рисса, Лебега по поводу внедрения «нового понятия интеграла». В заключении историк подчеркнул, что особенно широко интеграл Стилтьеса используется в теории вероятности и математической статистике, т.к. некоторые математические понятия могут быть адекватно выражены только через интеграл Стилтьеса.