Пятый постулат Евклида

ПЛАН РАБОТЫ

ВВЕДЕНИЕ        2

1. История проблемы пятого постулата Евклида        5

1.1 Евклид и его «Начала»        5

1.3 О пятом постулате Евклида        9

2. Утверждения, эквивалентные пятому постулату Евклида        11

2.1 Понятие эквивалентности аксиом        11

2.2 Попытки доказательства пятого постулата        13

2.3 Предложение Прокла-Плейфера        16

2.4 Постулат или теория параллельных линий Валлиса        18

2.5 Постулат Больяи        20

2.6 Исследования Лежандра        23

2.7 Постулат о параллельных линиях Джордано Витале        27

2.8 Теорема Птолемея        29

2.9 Предложение Посидония        31

2.10 Постулат о параллельных линиях Насир ад-Дина ат-Туси        31

2.11 Теорема Саккери        33

ЗАКЛЮЧЕНИЕ        35

Список использованной литературы        36

ВВЕДЕНИЕ

Геометрические представления человека уходит корнями во времена древнего каменного века.

С возникновением деревень в эпоху неолита, начали развиваться торговля и ремесла появилась необходимость измерения длины, площади и объема предметов. Активная деятельность человека способствовала вырабатыванию представления о плоских и пространственных фигурах, формированию понятия о числе. Люди стали подмечать простейшие свойства объектов.

Памятники древнейших культур Вавилона и Египта показывают грубо эмпирический характер геометрии, которая представляла собой собрание частных решений отдельных задач, развивавшихся на основе практических задач измерения.

В математике этих стран того времени есть только правила и нет никаких доказательств.

В VII веке до нашей эры начинается развитие геометрии в Древней Греции учеными.

К началу III века до нашей эры у греков был большой запас геометрических фактов и методы их доказательств. Возникает необходимость собрать этот геометрический материал и расположить его в логическом порядке.

Такую задачу пытались решить многие греческие авторы (Гиппократ, Февдий), но их сочинения не дошли до нашего времени и были забыты после появления «Начал» Евклида.

Первое логическое построение геометрии, которое дошло до наших времен это «Начала» Евклида. Этот великий труд был выполнен с таким мастерством, что именно по нему проводилось преподавание геометрии тысячи лет.

В «Начала» вошли методы определения площадей и объемов, включавшего элементы теории пределов, основы античной математики, общей теории отношений, теория чисел, элементарная геометрия.

В свой математический трактат Евклид включил все ценное, что было создано до него, обработав труды предшественников и создал единую теорию, аксиоматический подход к построению геометрии, который состоит в том, что сначала формулируются основные положения (аксиомы), которые принимаются за истину, а затем на их основе посредством логических рассуждений доказываются другие утверждения (теоремы).

Только в середине XIX века математики смогли улучшить логические основания геометрии.

Основанием «Начал» Евклида являются пять постулатов, с помощью которых доказываются 29 теорем.

Первым четырем постулатам характерна простота суждений и очевидность.

Самым слабым местом «Начала» Евклида является пятый постулат, который занимает в системе постулатов особое положение.

Во-первых, утверждение, содержащееся в пятом постулате, не имеет столь простого и очевидного характера, какой имеют прочие постулаты.

Во-вторых, формулировка пятого постулата носит довольно сложный и громоздкий характер.

Третья особенность заключается в использовании Евклидом этого постулата. В то время, как все остальные постулаты используются им с самого начала, третий постулат используется только в 29 предложении.