Примеры решения заданий с параметрами по "Математике"
Автор: sergey456677 • Ноябрь 3, 2019 • Задача • 1,613 Слов (7 Страниц) • 350 Просмотры
Решение заданий с параметрами
- Действительные числа [pic 1] и [pic 2] таковы, что [pic 3]. Найти наименьшее значение суммы [pic 4].
Решение.
Из уравнений системы следует:
[pic 5]
Заметим, что:
[pic 6]
Рассмотрим функцию , это квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вниз[pic 7]
[pic 8]
Следовательно, данная функция (а значит и выражение ) на множестве действительных чисел не имеет наименьшего значения, а наибольшее значение принимает в вершине параболы [pic 9][pic 10]
Согласно теореме Виета, х и у являются корнями квадратного уравнения:
[pic 11]
для которого [pic 12]
По условию числа х и у действительные, следовательно, [pic 13]
[pic 14]
(метод интервалов)
[pic 15]
[pic 16]
[pic 17]
[pic 18]
[pic 19]
Т.к. при функция убывает, то с учетом промежутка ,[pic 20][pic 21][pic 22]
наибольшее значение (а, значит, и наибольшее значение выражения ) достигается при и равно: а наименьшее – при и равно: [pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27]
Ответ: наименьшее значение равно 0, а наибольшее равно 8.
- Найти все значения параметра [pic 28], при которых неравенство [pic 29]выполняется при всех значениях [pic 30], таких, что[pic 31].
Решение.
Пусть , тогда для данного квадратного трехчлена[pic 32]
[pic 33]
Если , то эскиз графика функции будет выглядеть так:[pic 34]
[pic 35]
и указанное в условии задачи неравенство выполняется при любом значении переменной х, и в частности при условии [pic 36], т.е. на отрезке .[pic 37]
Следовательно, все решения неравенства удовлетворяют условию задачи.[pic 38]
Найдем их:
[pic 39]
[pic 40]
[pic 41]
видим, что действительных корней нет, значит, парабола не пересекает ось ОХ, причем ветви ее направлены вверх (6>0), поэтому эскиз графика будет выглядеть так же, как на рис. выше, и, следовательно, неравенство не имеет решений.[pic 42][pic 43]
Из эскиза графика понятно, что для любых значений а.[pic 44][pic 45]
Таким образом, для любых , выполнено неравенство , и, значит, трехчлен имеет два различных действительных корня x1 и x2.[pic 46][pic 47][pic 48]
...