Метод Рунге-Кутта

Міністерство і науки України

Черкаський Державний Бізнес-Коледж

Кафедра обліку та фінансів

РЕФЕРАТ

на тему: “ Метод Рунге-Кутта’’

з предмета: “Вища математика ”

                                                      Виконав:

                                                                  студент 3 курсу

                                                                  групи № 3О-20

                                                                          Козін Євгеній Віталійович

                                                      Перевірив Викладач Кацімон О.В

Черкаси 2021

Зміст

1. Вступ
2. Методи Першого порядку Рунге – Кутти  порядку
3. Геометричний зміст використання методу Рунге-Кутта
4. Помилки методу Рунге –Кутти
5. Методи Рунге-Кутти третього й четвертого  порядків
6. Використана література

1.Вступ

Метод Рунге-Кутти  важлива група чисельних методів розв’язування (систем) звичайних диференціальних рівнянь. Названі на честь німецьких математиків Карла Рунге і Мартіна Кутти, які відкрили ці методи використають для розрахунку стандартних моделей досить часто, тому що при невеликому об'ємі обчислень він має точність методу Ο4(h).

Для побудови різницевої схеми інтегрування скористаємося розкладанням функції

[pic 1]

у ряд Тейлора:

[pic 2]

Замінимо другу похідну в цьому розкладанні вираженням

[pic 3]

де

[pic 4]

Причому Δx підбирається з умови досягнення найбільшої точності записаного вираження. Для подальших викладень зробимо заміну величини «y з тильдою» розкладанням у ряд Тейлора:

[pic 5]

Для вихідного рівняння (1) побудуємо обчислювальну схему:

[pic 6]

яку перетворимо до виду:

[pic 7]

Уведемо наступні позначення:

[pic 8]

Ці позначення дозволяють записати попереднє вираження у формі:

2.Першого порядку

чисельні методи рішення ОДУ першого порядку описуються формулами виду yn+1=yn+h(xn,yn,h), причому для модифікацій методу Ейлера функція  має вигляд

)=a1f(xn,yn)+a2f(xn+b1h,yn+b2hy), yn=f(xn,yn)                

Для виправленого методу Ейлера  , [pic 9]

а для модифікованого [pic 10]

Загальна ідея виведення формули методу Рунге-Кутти будь-якого порядку полягає в наступному:

Нехай y(x) – вирішення диференціального рівняння y(x)=f(x,y(x)), що задовольняє умову y(xn)=yn. Проінтегруємо рівняння y(x)=f(x,y) на проміжку по x[xn,xn+1], отримаємо :

  , [pic 11]

за формулою Ньютона-Лейбніца .[pic 12]

Тоді  [pic 13]

Якби інтеграл у формулі обчислювався точно , вона була б основний робочої формулою всіх методів чисельного інтегрування диференціальних рівнянь.

Насправді використовують наближену формулу, замінюючи певний інтеграл квадратурною сумою.

 На відрізку [xn,xn+1] вводять m допоміжних вузлів , де 0=a1a2a3…am1 .[pic 14]

Тоді інтеграл можна замінити квадратурною сумою

                [pic 15]

Тут невідомі  . [pic 16]

Застосовуючи (5.2) , отримаємо , де i = 2,3, ..., m [pic 17]

 Замінивши для кожного i інтеграл квадратурною сумою та виконавши необхідні перетворення, отримаємо:

                                          [pic 18]

Вибір конкретних значень ci, ai і bi здійснюється по-різному і дає ту чи іншу модифікацію методу Рунґе-Кутти.