Ланцюгові дроби їх застосування та узагальнення

Міністерство освіти і науки
Сумський державний педагогічний університет ім. А.С. Макаренка

Курсова робота
«Ланцюгові дроби їх застосування та узагальнення »

Зміст

Вступ

§1. Нескінченні ланцюгові дроби

1. Подання ірраціональних чисел нескінченними ланцюговими дробами.

2. Підхідні дроби як найкраще наближення.

3. Квадратичні ірраціональні періодичні ланцюгові дроби (теорема Лагранжа).

4. Трансцендентні числа. Теорема Ліувілля.

5. Подання дійсних чисел за допомогою ланцюгових дробів.

§2. Застосування ланцюгових дробів.

1. Розв’язування лінійних діафантових рівнянь з двома змінними.

§3. Узагальнення ланцюгових дробів.

Висновок

Список використаних джерел

Вступ

Актуальність теми: одне з питань, що розглядає теорія чисел це ланцюгові дроби, які були введені в 1572 році італійським математиком Бамбеллі . У 1613 році вперше зустрічається  їх сучасне позначення в італійського математика Катальді (1548 – 1616). Першим, хто виклав теорію ланцюгових дробів був Леонардо Ейлер. Він поставив питання про їх використання для розв’язування диференціальних рівнянь, застосування ланцюгових дробів до розкладу функції. Цією теорією займалися М.Софронов, В.М.Вісковатий, Д.Бернулі. Важливий внесок в теорію ланцюгових дробів належить французькому математику Лагранжу. Який запропонував спосіб наближеного обчислення коренів алгебраїчних рівнянь за допомогою ланцюгових дробів. Великий внесок у розв’язання трансцендентних рівнянь належить Ліувіллю. Також застосуванням ланцюгових дробів займався Діофант.

Об’єкт дослідження: дійсні числа.

Предмет дослідження: ланцюгові дроби

Мета дослідження: подання дійсних, раціональних та ірраціональних чисел ланцюговими дробами. Застосування теорії ланцюгових дробів для розв’язування алгебраїчних задач, невизначених рівнянь першого степеня з двома змінними. Узагальнення ланцюгових дробів.

Структура та обсяг роботи: курсова робота складається зі вступу, трьох параграфів, висновку та списку використаної літератури.

Практичне значення: дана курсова робота є корисною для студентів, викладачів, учнів з поглибленим вивченням математики, учасників олімпіад з математики.

§1. Нескінченні ланцюгові дроби

1.1. Подання ірраціональних чисел нескінченними ланцюговими дробами.

В будь-якому дійсному числі можна виділити цілу частину та перевернути дробову. Для ірраціонального числа цей процес повинен бути нескінченним, так як кінцевий ланцюговий дріб дорівнює раціональному числу.

Вираз

 [pic 1] (1),

що виникає в такому процесі, називаємо правильним нескінченним ланцюгом, або неперервним дробом, або дробом нескінченної довжини і позначимо через ([pic 2] ), а числа [pic 3]- її елементами або неповними частинами.

Відзначимо, що розкладання можливо тільки в єдиному вигляді, так як процес виділення цілої частини - однозначний .

Означення 1: нескінченний неперервний дріб, в якому певна послідовність неповних частин, починаючи з деякого місця, періодично повторюється, називається періодичним неперервним дробом.

Якщо, періодичне повторення починається з першої ланки , то ланцюговий дріб називається чисто періодичним, в іншому випадку – змішаною періодичною.

Чисто періодичний дріб [pic 4] записується у вигляді [pic 5], а змішана періодична[pic 6]  у вигляді [pic 7] .

У загальному випадку розкладання дійсного ірраціонального числа відбувається так: зупинившись в процесі виділення цілої частини після k -го кроку , маємо:

[pic 8] (2), так що [pic 9](3).

 Числа αk називаються залишковими числами порядку k розкладання α. У формулі (3) маємо частину розкладання до залишкового числа αk+1.

Для нескінченного ланцюгового дробу (1) можна побудувати нескінченну послідовність кінцевих неперервних дробів.

Ці дроби називають підхідними дробами. Підхідні дроби мають такі ж властивості, що і звичайні дроби, тому для них зберігаються властивості чисельника і знаменника.