Лишки та їх застосування

               Полтавський національний педагогічний університет імені В.Г.Короленка

Фізико-математичний факультет

Кафедра загальної фізика та математики

КУРСОВА РОБОТА

Лишки та їх застосування

ЗМІСТ

ВСТУП

1. .ТЕОРІЯ ЛИШКІВ

1.1.Означення та формули для обчислення лишків

1.2.Основна теорема про лишки

1.3.Обчислення інтегралів від тригонометричних функцій

1.4.Обчислення невласних інтегралів

1.5.Лема Жордана та її застосування

1.6.Логарифмічний лишок. Принцип аргумента

1. ОБЧИСЛЕННЯ ІНТЕГРАЛІВ ЗА ДОПОМОГОЮ ЛИШКІВ

2.1. Застосування лишків при обчисленні інтегралів

2.2. Приклади застосування лишків при обчисленні інтегралів

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

Вступ

Важливе місце в теорії функцій комплексного змінного посідає теорія лишків. Теореми про лишки дозволяють зводити обчислення інтегралів від комплексних функцій по замкненому контуру до знаходження лишків підінтегральної функції всередині контуру. Таким же способом можуть бути обчислені і означені інтеграли від функцій дійсного змінного. При цьому часто вдається досить просто знаходити з допомогою лишків означені інтеграли у випадках, коли застосування методів математичного аналізу виявляється не ефективним. Отже, як ми бачимо, теорія лишків має численне застосування, що спрощує розв’язання багатьох задач інтегрального числення.

Мета дослідження: вивчення теорії лишків та її застосування при обчисленні інтегралів, розгляд конкретних прикладів.

Об’єкт дослідження: теорія лишків  та її застосування при обчисленні інтегралів від функції комплексної змінної .

Предметом дослідження: основні теореми, леми та формули для обчислення лишків, способи знаходження інтегралів за допомогою лишків.

Об'єкт, предмет та мета дослідження обумовили такі завдання:

• Розкрити зміст поняття лишків та формули для їх обчислення;
• розглянути основну теорему про лишки та інтегральну теорему Коші;
• ознайомити з різними способами застосування теорії лишків при обчисленні інтегралів від тригонометричних функцій, невласних інтегралів та інтегралів від функції комплексної змінної;
• навести приклади обчислення інтегралів.

  Методи дослідження: аналіз,синтез.

Структура роботи:  курсова робота складається з вступу, двох розділів, що мають підрозділи , висновку,списку використаної літератури, що містить 5 позицій. Основний текст розміщено на 22 сторінках.

1. ТОРІЯ ЛИШКІВ

В даному розділі будуть розглянуті шість підпунктів в яких буде висвітлено основні теоретичні відомості про застосування лишків. Формулювання  та доведення основної  теореми про лишки. Досліджено  леми та функції для обчислення лишків. Різні способи  застосування теорії лишків при обчисленні інтегралів від тригонометричних функцій, невласних інтегралів та інтегралів від функції комплексної змінної. А також  введення поняття логарифмічного лишка.

1.1.  Означення та формули для обчислення лишків.

 Означення та властивостi лишкiв аналiтичних функцiй. Нехай  –скінченна iзольована особлива точка для функцiї  яка аналiтична в деякому виколотому околi Uδ() точки .  [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

        Лишком функцiї в скiнченнiй точцi  називається iнтеграл[pic 5][pic 6]

[pic 7]

при 0 <  < δ, де коло проходиться проти годинникової стрiлки, i позначається[pic 8]

[pic 9]

З теореми про складений контур випливає, що значення iнтеграла не залежить вiд , отже, лишок функцiї не залежить вiд .[pic 10][pic 11]

Якщо  = ∞ – iзольована особлива точка для ) i ) аналiтична при |z| > ρ, то лишком функцiї в точцi ∞ називається  iнтеграл[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

[pic 16]