Контрольная работа по "Математической физике"

Найти распределение температуры в бесконечном стержне, если в начальный момент температура в стержне была распределена следующим образом:

├ T(x,τ) ┤|_(τ=0)=f(x)=T_0 e^(-α^2 x^2 )

Решение:

Уравнение теплопроводности вида:

T_t=a^2 T_xx

С помощью замены τ=a^2 tприводится к уравнению, не зависящему от физических свойств стержня:

T_τ=T_xx

Решение же задачи Коши для уравнения теплопроводности вида:

T_τ=T_(xx,);-∞<x<+∞;τ≥0

T(x,0)=φ(x)

Выражается интегралом Пуассона:

T(x,τ)=1/(2√πτ) ∫_(-∞)^∞▒〖φ(ξ)〗 e^(-(ξ-x)^2/4τ) dξ

После подстановки нашей функции в интеграл имеем:

T(x,τ)=T_0/(2√πτ) ∫_(-∞)^∞▒〖e^(-α^2 ξ^2-(ξ-x)^2/4τ) dξ〗

Выделяя полный квадрат в показатели степени:

-α^2 ξ^2-(ξ-x)^2/4τ=-((1+4α^2 τ) ξ^2-2ξx+x^2)/4τ=

=-((√(1+4α^2 τ) ξ-x/√(1+4α^2 τ))^2+x^2-x^2/(1+4α^2 τ))/4τ=

=-((1+4α^2 τ) (ξ-x/(1+4α^2 τ))^2+(4α^2 τx^2)/(1+4α^2 τ))/4τ=

=-((1+4α^2 τ) (ξ-x/(1+4α^2 τ))^2)/4τ-(α^2 x^2)/(1+4α^2 τ)

Получаем:

T(x,τ)=T_0/(2√πτ) ∫_(-∞)^∞▒〖e^(-((1+4α^2 τ) (ξ-x/(1+4α^2 τ))^2)/4τ-(α^2 x^2)/(1+4α^2 τ)) dξ〗=

=(T_0 e^(-(α^2 x^2)/(1+4α^2 τ)))/(2√πτ) ∫_(-∞)^∞▒〖e^(-((1+4α^2 τ) (ξ-x/(1+4α^2 τ))^2)/4τ) dξ〗={∫_(-∞)^∞▒〖e^(-(x-a)^2/b) dx〗=√πb}=

=(T_0 e^(-(α^2 x^2)/(1+4α^2 τ)))/(2√πτ)∙√(4τπ/(1+4α^2 τ))=(T_0 e^(-(α^2 x^2)/(1+4α^2 τ)))/√(1+4α^2 τ)

Получили следующее распределение температуры в бесконечном стержне:

T(x,τ)=(T_0 e^(-(α^2 x^2)/(1+4α^2 τ)))/√(1+4α^2 τ)

PSСудя по фото, претензия была связана не с интегралом Пуассона, а с переходом от t к τ: сама формула выводится в каждом учебнике по мат.физике, и расписывать ее вывод (страницы три-четыре) смысла-то нет.

Найти