Комплексные числа

Контрольная работа №1

Задание 1.

Даны три комплексных числа [pic 1] [pic 2] и [pic 3]

1) выполните действия над ними в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;

2) найдите расстояние между точками [pic 4] и [pic 5] на комплексной плоскости.

 [pic 6]                [pic 7]                [pic 8]                [pic 9]

Решение.

1.1.1.В алгебраической форме:

[pic 10][pic 11] 

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

1.1.2.В тригонометрической форме:

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19][pic 20] 

[pic 21]

1.1.3.В показательной форме:

[pic 22][pic 23];         [pic 24][pic 25];        [pic 26][pic 27];  

[pic 28][pic 29];             [pic 30][pic 31]

[pic 32][pic 33] 

1.2.Расстояние между точками [pic 34] и [pic 35] :

[pic 36]

Задание 2.

Решить уравнение z2 – 4z + 5 = 0 [pic 37]на множестве комплексных чисел.

z2 – 4z + 5 = 0

(z – 2)2 + 1 = 0

(z – 2)2 = -1

z – 2 = i, –i

Таким образом, корнями являются числа
z1 = 2 + i; z2 = 2 – i

Задание 3

Решите систему уравнений:

1) методом Крамера;

2) методом Гаусса.

[pic 38]

Решение

1. Метод Крамера

Запишем систему в виде:

    BT = (-6,6,-4)

Найдем главный определитель:

∆ = 2 х (-1 х 1-(-1 х (-2)))-3 х (-2 х 1-(-1 х 1))+1 х (-2 х (-2)-(-1 х 1)) = 2 = 2

Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.

∆1 = -6 х (-1 х 1-(-1 х (-2)))-6 х (-2 х 1-(-1 х 1))+(-4 х (-2 х (-2)-(-1 х 1))) = 4

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.

∆2 = 2 х (6 х 1-(-4 х (-2)))-3 х (-6 х 1-(-4 х 1))+1 х (-6 х (-2)-6 х 1) = 8

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

Найдем определитель полученной матрицы.

∆3 = 2 х (-1 х (-4)-(-1 х 6))-3 х (-2 х (-4)-(-1 х (-6)))+1 х (-2 х 6-(-1 х (-6))) = -4

Ответ: найденные переменные: ; ; .

2) методом Гаусса.

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 2-ую строку на (2). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Теперь исходную систему можно записать как:

x3 = 6/(-3)

x2 = [18 - ( - 5x3)]/2

x1 = [-4 - ( - x2 + x3)]/1

Из 1-ой строки выражаем x3

Из 2-ой строки выражаем x2

Из 3-ой строки выражаем x1

Ответ: найденные переменные: x1=2; x2=4; x3=-2

Задание 4

Даны три вектора [pic 39] [pic 40] и [pic 41] Докажите, что векторы [pic 42] образуют базис, и определите, какая это тройка векторов: правая или левая.

[pic 43]                        [pic 44]                [pic 45]

Решение.

Найдем смежное произведение векторов

[pic 46]

= -19

Следовательно вектора некомпланарные и образуют базис, так как [pic 47][pic 48]≠-19, то тройка левая.