Комплексные числа

Комплексные числа.

• понятие комплексного числа;
• алгебраическая форма комплексного числа,
• сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел в алгебраической форме
• решение квадратных уравнений

  В математике они называются множеством действительных чисел и обозначаются буквой [pic 1] (в литературе, рукописях заглавную букву «эр» пишут жирной либо утолщённой). Все действительные числа сидят на знакомой числовой прямой:

[pic 2]

Компания действительных чисел очень пёстрая – здесь и целые числа, и дроби, и иррациональные числа. При этом каждой точке числовой прямой обязательно соответствует некоторое действительное число.

Понятие комплексного числа

 Комплексное число – это двумерное число.

Комплексное число имеет вид [pic 3], где [pic 4] и [pic 5] – действительные числа, [pic 6] – так называемая мнимая единица.

[pic 7]

Это трудно представить, пока просто запомнить!

число [pic 8] называется действительной частью ([pic 9]) комплексного числа [pic 10], число [pic 11] называется мнимой частью ([pic 12]) комплексного числа [pic 13].

[pic 14] – это ЕДИНОЕ  ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: [pic 15] или переставить мнимую единицу: [pic 16] – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке:  [pic 17]

Чтобы всё было понятнее, сразу приведу геометрическую интерпретацию. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:
[pic 18]
Как упоминалось выше, буквой [pic 19] принято обозначать множество действительных чисел. Множество же комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой [pic 20]. Поэтому на чертеже следует поставить букву [pic 21], обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.

Комплексная плоскость состоит из двух осей:
[pic 22] – действительная ось
[pic 23] – мнимая ось

Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат. По осям нужно задать масштаб, отмечаем:

ноль;

единицу по действительной оси;

мнимую единицу [pic 24] по мнимой оси.

Не нужно проставлять все значения: …–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,… и [pic 25].

Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
[pic 26], [pic 27], [pic 28]
[pic 29], [pic 30], [pic 31]
[pic 32], [pic 33], [pic 34], [pic 35]

[pic 36]
По какому принципу отмечены числа на комплексной плоскости, думаю, очевидно – комплексные числа отмечают точно так же, как мы отмечали точки еще в 5-6 классе на уроках геометрии.

Рассмотрим следующие комплексные числа: [pic 37], [pic 38], [pic 39]. Вы скажете, да это же обыкновенные действительные числа! И будете почти правы. Действительные числа – это частный случай комплексных чисел. Действительная ось [pic 40] обозначает в точности множество действительных чисел [pic 41], то есть на оси[pic 42] сидят все наши «обычные» числа. Более строго утверждение можно сформулировать так: Множество действительных чисел [pic 43] является подмножеством множества комплексных чисел [pic 44].