Комплексные числа

Впервые мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Джероламо Кардано в 1545 году, который счёл их непригодными к употреблению. Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами. Выражения вида a b + −1 , появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть в XVI-XVII вв. «мнимыми». Однако для многих крупных учёных семнадцатого века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Задача о выражении корней степени из данного числа была в основном решена в работах А. Муавра и Р. Котеса. Символ i = −1 предложил Эйлер, взявший для этого первую букву слова imaginarius. Термин «комплексное число» ввёл в употребление Гаусс в 1831 году. Полное геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе К. Весселя в 1799 году.

Определение комплексного числа. Алгебраическая форма записи Определение. Комплексным числом z называется пара ( , ) x y действительных чисел x y, , взятых в определенном порядке. Числа x и y называются действительной (реальной) и мнимой частями комплексного числа z, соответственно. Они обозначаются: x z = Re , y z = Im . Алгебраическая форма: z x iy = + , где i – мнимая единица, удовлетворяющая условию: 2 i =−1. Определение. Числа z1 и z2 считаются равными тогда и только тогда, когда Re Re 1 2 z z = , 1 2 Im Im z z = . Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Определение. 1. Суммой и разностью называются, соответственно комплексные числа 1 2 1 2 1 2 z z x x i y y + = + + + ( ) ( ) , 1 2 1 2 1 2 z z x x i y y − = − + − ( ) ( ) . 2.Произведением 1 2 zz называется комплексное число 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 z z x x y y i x y x y = − + + ( ) ( ). 3.Частным 1 2 2 ( 0) z z z ≠ называется комплексное число 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z x x y y x y x y i z x y x y + − = + + + . Свойства операций сложения и умножения: 1) Коммутативность: 1 2 2 1 z z z z + = + , 1 2 2 1 z z z z ⋅ = ⋅ . 2) Ассоциативность: 1 2 2 1 z z z z + = + , 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) z z z z z z ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ . 3) Дистрибутивность: 1 2 3 1 2 1 3 z z z z z z z ⋅ + = ⋅ + ⋅ ( ) . 4) z z + = 0 , z z ⋅ =1 .