Комплексные числа и операции с ними

Занятие 1.  Комплексные числа и операции с ними

При расчете коротких замыканий необходимо сопоставлять различные токи, напряжения, складывать или вычитать их, определять углы между ними и т.д. При этом токи и напряжения часто представляют в виде векторов, каждый из которых задают комплексным числом

[pic 1]                                        (П3.1)
где a и b – действительные (вещественные) числа; j – мнимая единица; jb – мнимое число.

Мнимой единицей называют число j, квадрат которого равен минус 1, то есть [pic 2] откуда следует [pic 3] Этому условию не может удовлетворять ни одно действительное число.

Число a называют также вещественной частью комплексного числа  z,  jb – его мнимой частью.

Любое комплексное число [pic 4] можно изобразить графически на числовой комплексной плоскости. Если в прямоугольной системе координат по горизонтальной оси + (оси абсцисс) отложить a, по вертикальной оси +j (оси ординат) отложить b, то комплексному числу [pic 5] будет соответствовать точка с координатами (a; b) (рисунок П 3.1).

[pic 6]

Рисунок П 3.1 – Векторное изображение комплексного числа

 Для большей наглядности комплексное число обычно изображают не в виде точки, а в виде вектора [pic 7], соединяющего начало координат с точкой (a; b). Этот вектор и ставят в соответствие комплексному числу, т. е. [pic 8]. Заметим, что в электротехнике для комплексного числа вместо [pic 9] используют символическое обозначение [pic 10], которым мы и будем пользоваться (см. рисунок П 3.1).

Длина вектора, изображающего комплексное число, называется модулем этого числа (или вектора). Модуль вектора [pic 11] обозначают [pic 12] или z, а также буквой r, причём

[pic 13].                                (П3.2)

[pic 14]Угол φ, который характеризует расположение вектора [pic 15] относительно положительного направления оси абсцисс, называется аргументом комплексного числа (или вектора) и обозначается через [pic 16], причём

[pic 17].                                (П3.3)

Существует три формы представления комплексных чисел:

– алгебраическая [pic 18];

– тригонометрическая [pic 19];

– экспоненциальная (или показательная) [pic 20].

Алгебраическая форма позволяет легко выполнять операцию сложения (и вычитания) согласно правилу:

чтобы найти сумму (разность) двух комплексных чисел (или двух векторов), нужно сложить (вычесть) по отдельности их вещественные и мнимые части.

Пример П3.1

Имеется два вектора [pic 21] и [pic 22], где [pic 23] [pic 24] [pic 25] и [pic 26]. Найдём их сумму:

[pic 27]

Тот же результат мы получим, выполнив геометрическое суммирование векторов [pic 28] (рисунок П3.2). Поэтому сумма двух или нескольких комплексных чисел (векторов токов, напряжений и т. д.) называется их геометрической суммой.

[pic 29]

Рисунок П 3.2 – Нахождение суммы двух векторов

Чтобы произвести умножение двух комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, необходимо использовать правило умножения многочленов с учётом основного свойства мнимого числа (т. е. [pic 30]):

[pic 31]

Удобнее выполнять умножение и деление комплексных чисел, когда они представлены в экспоненциальной или тригонометрической форме:

при умножении (делении) двух комплексных чисел, их модули перемножаются (делятся друг на друга), а аргументы складываются (вычитаются).