Интегральное исчисление функции одной переменной

Глава 8. Интегральное исчисление функции одной
переменной. Определенный интеграл[pic 1]

§1. Определение определенного интеграла

Рассмотрим несколько задач, которые приводят к понятию определенного интеграла.

1. Вычисление площади криволинейной трапеции.

Пусть [pic 2] и непрерывна на [pic 3]. Найдем площадь криволинейной трапеции ABCD.

1. Разбиение отрезка

Зададим [pic 4]. Разобьем [pic 5] на [pic 6] частей: [pic 7]. Проведем прямые [pic 8].

[pic 9].

1. Составление суммы площадей

[pic 10] возьмем [pic 11]. Построим прямоугольники с основанием [pic 12] и высотой [pic 13]. Получим ступенчатую фигуру. Ее площадь обозначим [pic 14]. Тогда [pic 15].

1. Предельный переход

Пусть [pic 16], [pic 17].

1. Задача о массе неоднородного стержня

Имеем линейный неоднородный стержень, лежащий на оси Ox в пределах [pic 18]; [pic 19] – плотность распределения массы этого стержня (некоторая непрерывная функция на [pic 20]). Найдем массу стержня m.

1. Разбиение отрезка[pic 21]

Разобьем [pic 22]на n частей ([pic 23]): [pic 24], [pic 25];

1.  Составление суммы масс         Выберем точки [pic 26], [pic 27].  Найдем [pic 28]. Полагаем, что [pic 29] постоянная на [pic 30], вычислим [pic 31], [pic 32]. Вычислим [pic 33]. Очевидно, что [pic 34].
2. Предельный переход Устремим [pic 35] (тем [pic 36] ближе к m), при этом [pic 37]. Пусть [pic 38]. Получим:

[pic 39].

Аналогично можно вычислить объем тела, работу, длину дуги и т.п.

Все эти задачи приводят к одним и тем же математическим операциям, к одной и той же математической модели, которую назвали определенным интегралом.

Опр. Пусть функция [pic 40] определена на [pic 41].

1. Разобьем [pic 42]на n частей ([pic 43]): [pic 44], [pic 45], [pic 46];
2. выберем [pic 47], [pic 48], и составим интегральную сумму: [pic 49];
3. обозначим [pic 50]

Если [pic 51] существует и не зависит от способа разбиения [pic 52], то он называется определенным интегралом:

[pic 53],                        (*)

где [pic 54] – подынтегральная функция, a – нижний предел интегрирования, b – верхний.

Замечание1. Из определения определенного интеграла следует, что величина интеграла зависит только от вида функции [pic 55] и от чисел a и b, т.о., [pic 56] – однозначно определяемое число.

Опр. Функция, для которой существует предел (*), называется интегрируемой на [pic 57].

Достаточное условие интегрируемости функции: Если функция [pic 58] непрерывна на отрезке [pic 59], то она интегрируема на [pic 60]. Но это не означает, что интеграл существует только от непрерывных функций. Класс интегрируемых функций шире, чем класс непрерывных. Например, если [pic 61]имеет на [pic 62] конечное число точек разрыва и все они 1-го рода, то она интегрируема на [pic 63].

§2. Основные свойства определенного интеграла

1. [pic 64] (по опр.)
2. [pic 65] (по опр.)
3. [pic 66]

Д-во: [pic 67]= [pic 68]                [pic 69]

1. [pic 70] (для конечного числа функций).

Д-во: [pic 71]= [pic 72]=[pic 73].