Действия над комплексными числами

1. Действия над комплексными числами

Рассмотрим комплексное число, записанное в алгебраической форме:

z = 𝗑 + i𝑦,

где 𝑥 𝑦      . Число 𝑥 называется действительной частью комплексного числа и обозначается 𝑧, число 𝑦 называется мнимой частью комплексного числа и обозначается 𝑧, через i обозначается мнимая единица, удовлетворяющая свойству: i2 = −1.

Под действиями над комплексными числами подразумеваются арифметиче- ские операции, которые с ними можно производить: сложение, вычитание, ум- ножение, деление, возведение в целую степень, извлечение корня [3, c.10-17].

При сложении (вычитании) комплексных чисел, отдельно складывают (вычитают) действительные части и мнимые части этих чисел.

Например, если 𝑧1 = 3 + 2i, 𝑧2 = −5 − i, 𝑧3 = 3i − 4, то

𝑧1 + 𝑧2 − 𝑧3 = (3 + 2i) + (−5 − i) − (3i − 4) =

= (3 − 5 + 4) + i(2 − 1 − 3) = 2 − 2i.

Заметим, что результатом любого действия является опять же комплексное число, записанное в алгебраической форме:

𝑧 = 𝑥 + i𝑦.

Умножают комплексные числа так же, как двучлены, учитывая при этом, что i2 = −1. Так, например,

(3 − 5i)( 2 + 3i) = 6 + 9i − 10i − 15i2 = (6 + 15) + (9 − 10)i = 21 − i.

При делении комплексного числа 𝑧1 на число 𝑧2 = 𝑥 + i𝑦 0 следует чис-

литель и знаменатель дроби 𝑧

𝑧2

умножить на число 𝑧 2 = 𝑥 − i𝑦 (комплексно-

сопряжённое  к  числу  𝑧  ).  Тогда  в  знаменателе  дроби  𝑧 ·𝑧̅2[pic 1]

𝑧2·𝑧̅2

получим действи-

тельное число 𝑧2𝑧2 = 𝑥2 + 𝑦2.

Например, если 𝑧1 = 3 − i, 𝑧2 = 1 + 2i, то

𝑧1        𝑧1𝑧2        (3 − i)(1 − 2i)        3 − 6i − i + 2i2        (3 − 2) + (−6 − 1)i[pic 2]

𝑧2 = 𝑧2𝑧2 = (1 + 2i)(1 − 2i) =        1 + 4        =        5        =[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7]

= 1 − 7i        1        7

[pic 8][pic 9][pic 10]

5        = 5 − 5 i.

Если комплексное число z задано в алгебраической форме, то при возведе- нии его в натуральную степень можно использовать формулу бинома Ньюто- на:

(𝑥 + i𝑦)𝑛 =   𝑛        𝑘𝑥𝑛−𝑘(i𝑦)𝑘, где 𝑘 =        𝑛!        .

𝑘=0  𝑛

𝑛        𝑘!(𝑛−𝑘)!

При малых из формулы бинома Ньютона получаются знакомые формулы со- кращённого умножения:

(𝑎 ± 𝑏)2  = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2; (𝑎 ± 𝑏)3 = 𝑎3 ± 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 ± 𝑏3.

Пример 1.1. Найти 𝑧2𝑧3, если 𝑧1 = 2 + 3i, 𝑧2 = 2 − i.

1  2

Решение. Будем производить вычисления по действиям: 1) 𝑧2 = (2 + 3i)2 = 4 + 12i + 9i2 = −5 + 12i;[pic 11]

2) 𝑧3 = (2 − i)3 = 8 − 3 · 4 · i + 3 · 2 · i2 − i3 = 8 − 12i − 6 + i = 2 − 11i;[pic 12]

3) 𝑧2𝑧3 = (−5 + 12i)(2 − 11i) = −10 + 55i + 24i − 132i2 =

1  2

= (−10 + 132) + (55 + 24)i = 122 + 79i.

Ответ: 122 + 79i.

Корнем n-ой степени из комплексного числа 𝑧 называют число 𝜔 такое, что 𝜔𝑛 = 𝑧.

Представим комплексное число 𝜔 в алгебраической форме

𝜔 = 𝑥 + i𝑦,

возведём в степень . Получим

𝑧 = 𝜔𝑛 = (𝑥 + i𝑦)𝑛.

Комплексные числа равны, тогда и только тогда, когда равны их действитель- ные и мнимые части, поэтому получим систему: