Гильберт кеңістігіндегі функционалдар мен операторлар

Гильберт кеңістігіндегі функционалдар мен операторлар

Автор: Хамитбеков Ж.Р. «Математика» мамандығының 4- курс студенті

Ғылыми жетекшісі: Алимбаев А.А. математика магистрі

Костанай мемлекеттік педагогикалық институты

Гильберт кеңістігіндегі сызықтық функционалдың жалпы түрі.

Теорема 1.  кеңістігінде кез-келген шенелген  сызықтық функционалы айнымалы    векторы мен тиянақты    векторының скаляр көбейтіндісі түрінде жазылады, яғни   ,.  [pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

Дәлелдеуі. Егер   болса, онда   түрінде жазылады, яғни бұл мардымсыз жағдай. Сондықтан ең болмаса бір нүктеде     болсын.[pic 7][pic 8][pic 9]

[pic 10]

Жиыны ішкеңістік екенін дәлелдейік. Егер    болса, онда
  , яғни , олардың сызықтық комбинациясы да осы жиында жатады. Демек,   сызықтық жиын. Енді    және   болса, онда    және   үздіксіз функционал болғандықтан  , демек,   . сонымен,   сызықтық тұйық жиын, яғни ішкеңістік.[pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

Енді   және    кез-келген вектор болсын. Вектор
  , себебі бұл векторда функционалдың мәні нөлге тең:   [pic 21][pic 22][pic 23]

[pic 24]

Сондықтан    және    ортогонал векторлар, демек, олардың скаляр көбейтіндісі  . Осы теңдіктен  
, ал мұнан[pic 25][pic 26][pic 27][pic 28]

[pic 29]

Соңғы теңдіктен      векторы арқылы функционал[pic 30]

[pic 31]

Түрінде жазылатынын көріп отырмыз. Теорема дәлелденді.

Ескерту. (1) теңдігіндегі   элементін    функционалын анықтайтын элемент деп атаймыз. Әрбір сызықтық функционал    үшін оны анықтайтын    элементі біреу ғана болады. Шынында да, егер функционал    басқа бір    элементімен де анықталады деп жорысақ. Онда  
, ал осыдан  . Бұл теңдік барлық  үшін орындалады. Олардың бірі    болғандықтан  
(, демек,   .[pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43]

Сонымен, әрбір функционал мен оны анықтайтын элемент арасынла бірмәнді сәйкестік бар болады. Осыған байланысты, функционал  және оны анықтайтын элемент  ажыратылмай бір нәрсе ретінде қабылданады. Шынында да,   кеңістігінде анықталған шенелген сызықтық функционал скаляр көбейтінді (1) түрінде болғандықтан, ол   элементімен толық анықталады.[pic 44][pic 45][pic 46][pic 47]

Оған қоса, функционалдың нормасы  элементінің нормасымен тең екенін дәлелдейік. Шварц теңсіздігі бойынша[pic 48]

[pic 49]

 Демек,  , ал     болғандықтан   .[pic 50][pic 51][pic 52]

 Салдар.  , яғни Гильберт кеңістігіне түйіндес кеңістік осы кеңістіктің өзі.[pic 53]

Шынында да, түйіндес     кеңістігі, анықтама бойынша,   кеңістігінде анықталған   функционалдарынан тұрады. Әрбір функционал оны туындайтын     элементінен ажыратылмайды. ал   , демек түйіндес кеңістік    ортақ элементтерден тұрады.[pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59]

Гильберт кеңістігінде әлсіз және әлді жинақтылық.   кеңістігінде сызықтық функционалдың жалпы түрі және түйіндес кеңістік айқындалғандықтан, осыған орай, әлсізжинақтылықтың анықтамасы   кеңістігінде мына түрде тұжырымдалады:[pic 60][pic 61]

Егер барлық    үшін   кезде  ( болса, онда   тізбегі    элементіне әлсіз жинақталады дейді.[pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66]

Әлді жинақтылық, бұрын анықталғандай, кеңістіктің нормасы бойынша жинақтылық болады (III.4).

Мысалға,   кеңістігінде жинақтылықтың осы екі ұғымының қандай түрде болатынын айқындайық. Кез-келген     функциялары үшін скаляр көбейтінді[pic 67][pic 68]

[pic 69]

Теңдігімен анықталады. Демек,    тізбегі     функциясына әлсіз жинақталатын болса, онда   кезде, кез-келген    функциясы үшін[pic 70][pic 71][pic 72][pic 73]