Беттің жанама жазықтығы

Беттің жанама жазықтығы. Жанама жазықтықтың теңдеуі.

жазықтығы Ф бетінің Р нүктесінен өтетін болсын.Беттің үстінен Q нүктесінен алып, одан Р нүктесіне және  жазықтығына дейінгі қашықтықтарды d және h деп белгілелік.

Егер QP ұмтылғанда , болса, онда жазықтығы Р нүктесінде бетке жанама жазықтық деп аталады.

Теорема. Тегіс Ф беттің () әрбір нүктесінде жалғыз ғана жанама жазықтығы болады. Егер беттің тегіс параметризациясы болса, онда нүктесіндегі жанама жазықтық , векторларына параллель.

Дәлелдеуі.  нүктесіндегі Ф бетіне жанама жазықтық  болсын және оның бірлік векторы болсын. нүктесіненнүктесіне шейінгі қашықтық  ке тең.

,

Дербес жағдайда,

,егер .

Бірақ

Сонымен

         (себебі, ) болғандықтан, .

        Осы сияқты   екендігін де көрсету оңай.Сонымен, егер жанама жазықтық бар болса, ол  векторларына параллель екен.

Енді жанама жазықтықтың бар болатынын көрсетелік.  жазықтығы  векторларына параллель болсын, оның  нүктесіндегі жанама жазықтық болатындығын көрсетелік.

=

орындалатындағын көреміз. Мұндағы  ұмтылғанда, және нольге ұмтылады.

 ұмтылғанда екенін көрсету үшін, кез-келген үшін

         > c > 0 болатындағын дәлелдеу жеткілікті ( мұндағы с-тұрақты).

 және  сандарының квадраттарының қосындысы бірге тең болғандықтан, олардың ең болмағанда біреуі санынан кем емес. Мысалы, делік.  және  векторларының арасындағы бұрыштыдеп, ал -ге перпендикуляр және  векторларымен компланар бірлік векторы деп белгілеп, төмендегі теңсіздіктерді аламыз.

.

Сол сияқты  дегеннен  теңсіздігін аламыз. Сонымен тұрақты с үшін сандарының кішісін алсақ болғаны.

Бет параметрлік теңдеулерімен берілген кездегі жанама жазықтықтың теңдеуін табалық. Беттің нүктесіндегі жанама жазықтықтың ағым нүктесін  делік. Сонда  векторлары компланар.  Демек,  олардың аралас көбейтіндісі нөлге тең, яғни,  

жанама жазықтықтың теңдеуі.

        Бет  теңдеуімен берілгенде жанама жазықтықтың теңдеуі

немесе

        түрінде болады.

Шындығында, параметрлік теңдеулерді түрінде берілген деп есептесек болғаны.

        Енді беттің теңдеуі

- айқын емес түрде берілген болсын.

осы беттің параметрлік түрде берілуі болсын. Сонда

тепе-теңдігін аламыз.

        Бұл тепе-теңдікті  бойынша дифференциалдасақ

Бұлардан,  координаталары  болатын вектордың  және векторларына перпендикуляр болатындағын, яғни жанама жазықтыққа перпендикулярлығын көреміз. Олай болса жанама жазықтықтың теңдеуі