Контрольная работа по "Логике"

1.Предмет МЛ.

Логика – анализ метода рассуждения, причем она прежде всего интересуется формой рассуждения, а не содержанием.

Пример:

1) Все люди смертные. Сократ человек. Следовательно, Сократ смертный.

2) Все кролики любят морковь. Вилли – кролик. Следовательно, Вилли любит морковь.

Общая форма: а если в

                          в если с

                           Следовательно, а есть с

Истинность или ложность определенных посылок или заключений не интересует логика, его интересует вытекает ли из истинности посылка истинность заключения.

Мат. логика изучает применение мат. операторов в рассуждениях и прежде всего в мат. рассуждениях. Одна из главных целей – определить понятие мат. доказательство.

Впервые идея построения логики на мат. основе были высказаны Лейбницем в конце 17 века. Он считал, что основные понятия логики должны быть обозначены символами, которые соединяются по особым правилам. Это позволит заменить всякое рассуждение вычислением.

Интерес к анализу рассуждений начиная с древности привлекали парадоксы, т.е. рассуждение приводящиеся к противоречиям.

Пример:

Парадокс лжеца (16 век до н.э.)

Некто говорит: «Я лгу». Если он лжет, то говорит правду, если говорит правду, то лжет.

В конце 19 века были обнаружены парадоксы множеств. Яркий пример парадокс Рассела.

2.Понятие высказывания, примеры.

Высказывание – мы понимаем всякое предложение, в котором имеет смысл говорить, что оно (его содержание) истинно или ложно, в данных условиях места и времени.

Примеры:

1. 2*5=10 – высказывание истинна

Волга крупнейшая река Белорусии – выражение ложь

1. Который час?

Вопросительные и повелительные предложения не являются высказыванием.

1. Заметим, что не всякое повествовательное высказывание является высказыванием.

3.Понятие истинностной функции.

Число х делится нацело на 3 – не высказывание

Число 6 делится нацело на 3 – высказывание

Если высказывание истинно, то говорят. Что его логическое (истинное) значение есть истина (записывают и, 1)

Если высказывание ложно, то говорят, что его логическое значение есть ложь (Λ, 0)

В алгебре логики высказывание рассматриваются с точки зрения их лог. значения, от их содержания мы отвлекаемся.

Высказывание истинно или ложно, другого быть не может.

4.Основные операции над высказываниями: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция.

Из одних высказываний различными способами можно строить новые более сложные высказывания.

Лог. операция – это такой способ построения нового высказывания из данных, при котором истинное значение нового высказывания полностью определяется истинным значением исходных.

Примеры:

1. Отрицание: ¬

[pic 1]

1. Конъюнкция: Λ(&) (и)

[pic 2]

1. Дизъюнкция: V (или), (хотя бы одно из двух А и В), любая А или В или оба)

[pic 3]

Заметим, что или здесь используется в соединительном смысле (хотя бы одно из), а не в разделительном (либо либо).

1. Импликация: →(если А, то В), (А влечет В), (в случае А имеет место В), (для А необходимо В), (В необходимо условие А), (А, только если В)

[pic 4]

А – условие (посылка)

В – следствие (заключение)

1. Эквивалентность: ↔(А тогда, и только тогда, когда В), (А равносильно В), (если А, то и В, и обратно), (А эквивалентно В)

[pic 5]

Рассмотренные символы логических операций называются логическими связками.