Решение нелинейных уравнений модифицированным методом Ньютона

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет математики и информационных технологий

Кафедра информационных технологий и компьютерной математики

Направление подготовки:

09.03.03 Прикладная информатика

Направленность (профиль) образовательной программы:

Информационные и вычислительные технологии

Вычислительные методы и программирование

Курсовая работа

Решение нелинейных уравнений модифицированным методом Ньютона

Научный руководитель:

Доцент, к.ф-м.н

__________________ Валеева Н.С.

(подпись)

Выполнил: студент(ка) 2 курса

очной формы обучения группы 26

Иванов Иван Иванович

УФА – 2022

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Методы, которые используются в вычислительной математике для преобразования задач к виду, удобному для реализации на ЭВМ, и позволяют конструировать вычислительные алгоритмы, называются вычислительными.

Модифицированный метод Ньютона построен на проведении касательных к графику функции, зачастую используется когда вычисление производной не является затратной задачей.

1. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МОДИФИЦИРОВАННЫМ МЕТОДОМ НЬЮТОНА

Модифицированный метод Ньютона основан на методе Ньютона. Если производная изменяется незначительно на отрезке , то можно предположить .

Отсюда для корня уравнения получаем последовательные приближения

,

Геометрически этот способ означает, что мы заменяем касательные в точках на прямые, параллельные касательной к кривой в фиксированной точке .

Данный метод позволяет отказаться от многократного вычисления производной в точках . Модифицированный метод Ньютона используют для решения уравнений, в которых вычисление производной является трудоемким и относительно долговременным. В других случаях лучше применять стандартный метод Ньютона.

Ограничения на функцию и начальное приближение у модифицированного и стандартного методов Ньютона совпадают. Алгоритм обоих методов практически один и тот же.

Модифицированный метод Ньютона обладает линейной сходимостью

Метод гарантирует отсутствие деления на ноль, если .

Выведем еще одну формулу для оценки точности приближения . Применим формулу Тейлора, имеем , где . Так как в силу определения приближения имеем , то находим , где – наибольшее значение на отрезке . Следовательно, окончательно получаем .

Если процесс Ньютона сходится, то при . Поэтому при имеем: , т.е. “установившиеся” начальные десятичные знаки приближений и , начиная с некоторого приближения, являются верными. Заметим, что в общем случае совпадение с точностью до двух после запятой вовсе не гарантирует, что с той же точностью совпадает и решение и точный корень .

Пример. Уравнение

Применяют метод Ньютона с параметром, т.к. корень имеет кратность . Возьмем начальное приближение и получаем . Корень найден.

Примечание. В качестве исходной точки можно выбрать тот конец интервала (a, b), которому отвечает ордината того же знака, что и .

2. ЧИСЛЕННАЯ