Эллипс. Эллипстің теңдеуіне есептер

Эллипс. Эллипстің теңдеуіне есептер

Анықтама. Фокустары деп аталатын берілген екі нүктеден қашықтықтарының қосындысы тұрақты [pic 1] шамасына тең нүктелердің геометриялық орыны эллипс деп аталады (1-сурет).

Фокустары координаталар бас нүктесінен бірдей қашықтықта және [pic 2] өсінде жататын эллипстің теңдеуін жазалық.

[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

1-сурет

[pic 13] мен [pic 14] эллипстің фокустары, олардың ара қашықтығын [pic 15]арқылы белгілейік, яғни [pic 16]болсын.

[pic 17] және [pic 18] болғандықтан

[pic 19]

Анықтама бойынша [pic 20]. Олай болса[pic 21] [pic 22] Осы теңдіктің екі жағын квадраттап

[pic 23][pic 24].

Соңғы теңдіктің екі жағын 4-ке бөліп, тағыда квадраттасақ

[pic 25], т.е. [pic 26].

теңдігін аламыз. Анықтама бойынша [pic 27] болғандықтан [pic 28]деп белгілеміз. Сонда [pic 29]. Осы теңдіктің екі жағын [pic 30]-қа бөліп

[pic 31].                                                        (1)

Эллипстің канондық теңдеуін аламыз.

,                          

Теорема. [pic 32]  теңдеуі [pic 33] болғанда шеңберді, [pic 34] болғанда эллипсті, [pic 35] болғанда гиперболаны және [pic 36] болғанда параболаны береді.

[pic 37] қатынасы эллипстің эксцентристеті деп аталады. [pic 38] екендігі өзінен-өзі түсінікті.

Егер эллипстің центрі [pic 39] нүктесінде жатса, онда оның канондық теңдеуі

[pic 40].                                            (2)

Эллипстің формасы [pic 41] қатынасына тәуелді. Егер [pic 42]   болса, онда эллипс теңдеуі [pic 43] болатын шеңберге айналады. [pic 44] түзулері эллипстің директрисалары деп аталады.

1-мысал. Үлкен жарты өсі 5-ке, ал кіші жарты өсі 2-ге тең, фокустары абсцисса өсінде жататын және координаталар бас нүктесіне қарағанда симметриялы болатын эллипстің теңдеуін жазайық.

Шешуі. Шарт бойынша [pic 45] ал [pic 46] болғандықтан формула негізінде  

[pic 47]

іздеп отырған эллипстің теңдеуін аламыз.

2-мысал. Үлкен өсі 10-ға және фокустарының ара қашықтығы 8-ге тең, фокустары абсцисса өсінде жататын және координаталар бас нүктесіне қарағанда симметриялы болатын эллипстің теңдеуін жазалық.

Шешуі. Шарт бойынша [pic 48] және [pic 49]. Алдымен [pic 50]-ты табайық.

[pic 51].

Демек, формула бойынша  [pic 52].

3-мысал. Кіші өсі 24-ке тең, ал фокустары абсцисса өсінде жататын, координаталар нүктесіне қарағанда симметриялы және олардың ара қашықтығы 10-ға тең эллипстің теңдеуін жазалық.

Шешуі. Шарт бойынша [pic 53], яғни [pic 54], ал [pic 55], яғни [pic 56]. Енді [pic 57]-ты табалық. Эллипс үшін [pic 58]  екендігі белгілі. Осыдан [pic 59]. Жоғарыдағы [pic 60] мен [pic 61]-ның мәндерін осы соңғы теңдікке қойсақ [pic 62]. Демек, [pic 63]. Онда эллипстің формуласы бойынша [pic 64].

4-мысал. Эксцентриситеті [pic 65]-ке тең,ал фокустары абсцисса өсінде жататын, координаталар бас нүктесіне қарағанда симметриялы және олардың ара қашықтығы 6-ға тең эллипстің теңдеуін жазалық.

Шешуі. Шарт бойынша [pic 66] және [pic 67], яғни [pic 68]. Екіншіден, [pic 69]. Осыдан [pic 70]. Сонымен қатар [pic 71]. [pic 72] мен [pic 73]-ның мәндерін осы соңғы теңдікке қойып [pic 74]екендігін көреміз.  Демек, ізделініп отырған эллипс