Матриці та їх використання у розв’язуванні оптимізаційних задач

Матриці та їх використання у розв’язуванні оптимізаційних задач

Матриця — математичний об'єкт, записаний у вигляді прямокутної таблиці чисел (чи елементів кільця), він допускає операції (додавання, віднімання, множення та множення на скаляр). Зазвичай матриці представляються двовимірними (прямокутними) таблицями. Іноді розглядають багатовимірні матриці або матриці непрямокутної форми.

Матриці є корисними для запису даних, що залежать від двох категорій, наприклад: для коефіцієнтів систем лінійних рівнянь та лінійних перетворень.

Матрицею розміру m × n  (m-на-n, або mn-матрицею) називається множина з  елементів , розміщених у вигляді прямокутної таблиці з  рядків і  стовпців, а  і  — її розмірністю:[pic 7][pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

де  – елемент матриці;  – номер рядка;  – номер стовпця.[pic 8][pic 9][pic 10]

При альтернативному позначенні використовуються великі круглі дужки:[pic 11]

• Горизонтальні лінії в матриці звуть рядками, вертикальні — стовпцями.
• Елемент матриці A, що знаходиться на перетині i-го рядка з j-им стовпчиком, називають i,j-им елементом або (i,j)-им елементом A.

 Розмір матриці визначає кількість рядків і стовпців, які вона містить. Матрицю із m рядками і n стовпцями називають матрицею m × n або m-на-n матрицею, а самі m і n називають розмірами матриці.

Матриці, які мають лише один рядок називаються векторами-рядками, а ті що мають один стовпець називаються векторами-стовпцями. Матриця з однаковою кількістю рядків і стовпців називається квадратною матрицею. Матриця із нескінченною кількістю рядків або стовпців (або їх обох) називаєтьсяn нескінченною матрицею. У деякому контексті, наприклад, в комп'ютерних програмах, іноді зручно розглядати таку матрицю, що не містить рядків або стовпців, що називається порожньою матрицею.

Матриці є рівними, якщо:

1. вони мають однаковий розмір;
2. їх відповідні елементи рівні, тобто
3. aij = bij для усіх і = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n

Є такі види матриць:

1. прямокутна (m>n або m
2. квадратна (m=n);
3. трикутна (усі елементи під (над) діагоналлю = 0);
4. діагональна (усі елементи, крім діагональних, =0);
5. одинична (діагональна, елементи якої = 1);
6. нульова (квадратна, усі елементи якої = 0);
7. матриця-стовпець (матриця розміру mx1);
8. матриця-рядок (матриця розміру 1xn);
9. транспонована (рядки замінено стовпцями);
10. обернена (якщо матриця існує, розраховується за певним правилом).

Дві матриці  та  називаються рівними , якщо рівні їх відповідні елементи, тобто .[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

Якщо дано дві матриці m-на-n A і B, можемо визначити їх суму A + B як матрицю m-на-n, що утворюється додаванням відповідних елементів, тобто, 
(A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j]. Наприклад:[pic 16]

Основні властивості операцій додавання матриць:

• A + B = B + A (комутативність).
• A + (B + C) = (A + B) + C (асоціативність).
• A + 0 = A, при будь-якій матриці. Для будь-якої матриці A існує протилежна матриця (-A) , така, що A + (-A) = 0.

Якщо дано матрицю A і число c, можемо означити множення на скаляр cA як (cA)[i, j] = cA[i, j]. Наприклад:[pic 17]

З цими двома операціями множина M(m, n, R) усіх матриць m-на-n з дійсними елементами є дійсним векторним простором розмірності mn.