Шпаргалка по "Физике"

Базовые понятия

Фазовое пространство — совокупность всех начальных точек X или всех возможных состояний системы. Фазовая траектория — кривая в фазовом пространстве, составленная из точек, представляющих состояние динамической системы в последовательные моменты времени в течение всего времени эволюции.

Эволюция системы соответствует движению изображающей точки у фазовой плоскости вдоль траектории Г = St GtX0. Для динамической системы с непрерывным временем траектории— непрерывные кривые для динамической системы с дискретным временем, траектория— дискретные, подмножество фазовой плоскости.

Динамическая система с непрерывным временем задается системой дифференциальных уравнений x˙ = F(x). Она позволяет найти состояние в любой момент времени по начальному состоянию. Если правая часть явно от времени не зависит, то динамическая система - автономная, иначе не автономная.

Динамическая система с дискретным временем: x(n + 1) = F(x(n)).

1        Определение динамической системы

Рассмотрим систему, состояние которой определяется вектором x(t) ∈ Rn. Предположим, что эволюция системы определяется одно-параметрическим семейством операторов Gt,t ∈ R или t ∈ Z, таких, что состояние системы в момент t: x(t,x0 = Gtx0) где x0 – начальное состояние (начальная точка). Предположим также, что эволюционные операторы удовлетворяют двум следующим свойствам, отражающим детерминистический характер описываемых процессов.

Первое свойство: G0 – тождественный оператор, т.е. x(0,x0) = x0, для любых x0. Это свойство означает, что состояние системы не может изменяться самопроизвольно.

Второе свойство эволюционных операторов имеет вид: x(t1 + t2,x0) = x(t1,x(t2,x0)) = x(t2,x(t1,x0)) Согласно ему, система приходит в одно и то же финальное состояние независимо от того, достигается ли оно за один временной интервал t1 + t2, или за несколько последовательных интервалов t1 и t2, суммарно равных t1 + t2.

Совокупность всех начальных точек или всех возможных состояний системы называется фазовым пространством, а пара (X,Gt), где семейство эволюционных операторов удовлетворяют условиям выше – динамической системой (ДС).

Иначе говоря, динамическая система — объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния, как совокупности некоторых величин в данный момент времени и задан закон эволюции начального состояния с течением времени. По этому закону можно прогнозировать будущее состояние динамической системы.

2        Условия грубости динамических систем на плоскости

Так как динамические системы изменяются вместе со входящими в них параметрами, но при малости изменений качественные черты поведения сохраняются, вводится свойства грубости. Грубость — устойчивость структуры разбиения фазовой плоскости динамических систем на траектории по отношению к малым изменениям динамической системы. Для плоскости: пусть есть система: