Расчет статически определимых балок на прочность

Задача 1: Расчет статически определимых балок на прочность

Задача 1.1. Расчет статически определимой консольной балки на прочность.

Требуется: построить эпюры 𝑄, 𝑀; подобрать по  размеры сечений: круглого, прямоугольного, состоящего из 4-х швеллеров. [pic 1]

Исходные данные:

𝐹 = 20 кН; 𝑀 = 15кНм; 𝑞 = 50 кН/м; [𝜎] = 160МПа; L = 1м.

1.1.1. Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М. Балка разбивается на три силовых участка. Составляются уравнения поперечных сил и изгибающих моментов на каждом участке. Расчет ведется со свободного конца балки.

Первый участок:

 м;[pic 2]

[pic 3]

кН;[pic 4]

 кН ;[pic 5]

[pic 6]

𝑀(0) = 0;

 кНм[pic 7]

Уравнение момента исследуется на экстремум 𝑑𝑀/𝑑𝑧 = 0:

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

 кНм[pic 11]

Второй участок:

 м;[pic 12]

  (постоянное значение 𝑄 на участке, линия эпюры параллельна нулевой линии);[pic 13]

 [pic 14]

 кНм ;[pic 15]

 кНм.[pic 16]

Третий участок:

 м;[pic 17]

 (постоянное значение 𝑄 на участке, линия эпюры параллельна нулевой линии);[pic 18]

 [pic 19]

 кНм;[pic 20]

 кНм[pic 22][pic 21]

Рис. 1. Расчетная схема консольной балки

1.1.2. Определение размеров поперечного сечения балки 

Из эпюры М определяется максимальное значение изгибающего момента | (рис. 1). Из условия прочности по нормальным напряжениям определяется значение момента сопротивления:[pic 23]

[pic 24]

Определяются размеры сечений балки разной формы (рис. 2):

– размеры сечения прямоугольной формы 𝑏, ℎ, для заданного соотношения ℎ = 2𝑏:

[pic 25]

[pic 26]

 см2[pic 27]

– диаметр 𝑑 круглого сечения:

[pic 28]

см2[pic 29]

– номер швеллера для сечения, состоящего из четырех швеллеров:

[pic 30]

По таблице сортамента выбирается наиболее подходящий швеллер № 30:

[pic 31]

см2[pic 33][pic 32]

Рис. 2. Схемы сечений балки

Наиболее рациональным по весу одного погонного метра балки является сечение, имеющее наименьшую площадь поперечного сечения:

– швеллер: [pic 34]

– прямоугольник [pic 35]

– круг [pic 36]

Задача 1.2. Расчет статически определимой шарнирно закрепленной балки на прочность

Требуется: определить опорные реакции; построить эпюры Q и M; подобрать по MMAX размеры двутаврового сечения; произвести полную проверку прочности (по нормальным, касательным и эквивалентным напряжениям) для двутаврового сечения.

Исходные данные:

𝐹 = 20 кН; М = 15 кНм; 𝑞 = 50 кН/м;

[𝜎] = 160 МПа;[𝜏] = 80 МПа.

1.2.1. Определение опорных реакций

Составляются уравнения равновесия и определяются реакции RВ и RС  

[pic 37]

[pic 38]

[pic 39]

[pic 40]

Проверка:

[pic 41]

[pic 42]

1.2.2. Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М

Балка разбивается на три силовых участка. Составляются уравнения поперечных сил и изгибающих моментов на каждом участке.

Первый участок:

;[pic 43]

[pic 44]

кН[pic 45]

кН[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

кНм[pic 49]

Уравнение момента исследуется на экстремум 𝑑𝑀/𝑑𝑧 = 0:

[pic 50]

[pic 51]

[pic 52]

 кНм[pic 53]

Второй участок:

;[pic 54]

  (постоянное значение 𝑄 на участке, линия эпюры параллельна нулевой линии);[pic 55]

(линейная зависимость М от z2);[pic 56]

;[pic 57]

.[pic 58]

Третий участок:

;[pic 59]

[pic 60]

 [pic 61]

;[pic 62]

.[pic 63]

По полученным значениям строятся эпюры Q и М (рис. 3).

Рис. 3. Расчетная схема шарнирной балки и боковой вид на балку 1.2.3. Определение размеров поперечного сечения балки[pic 64]

Из эпюры Мx определяется максимальное значение изгибающего момента 𝑀МАХ (сечение I–I, рис. 3). Рассчитывается требуемый момент сопротивления сечения из условия прочности по нормальным напряжениям: