Критерий устойчивости Гурвица

Критерий устойчивости Гурвица. Т.к. положительность коэффициентов характеристического уравнения порядка выше второго не является достаточным условием устойчивости, возникла необходимость искать дополнительные условия, накладываемые на коэффициенты характеристического уравнения, при соблюдении которых обеспечивается устойчивость системы. Так возникли различного рода критерии устойчивости. Существуют алгебраические и частотные критерии устойчивости, эквивалентные с математической точки зрения один другому. Первый критерий был предложен Раусом (1877г.) и независимо от него Гурвицем (1893г.) Критерий Гурвица является алгебраическим критерием устойчивости т.к. основан на исследовании характеристического уравнения системы, которое является алгебраическим уравнением. Он позволяет, не находя корней, найти условия при которых характеристическое уравнение не будет содержать корней с положительной вещественной частью. Краткие сведения из теории определителей приведены в приложении 2. Критерий Гурвица. (формулировка) Система с характеристическим уравнением 𝑎𝑛𝑝𝑛 +𝑎𝑛−1𝑝𝑛−1 +⋯+𝑎1𝑝+𝑎0 = 0 Будет устойчива, если при 𝑎𝑛 > 0 специально составленный определитель из его коэффициентов ∆𝑛 (определитель Гурвица) и все его диагональные миноры ∆𝑛−1 положительны: ∆𝑛 > 0,∆𝑛−1> 0,…,∆2> 0,∆1> 0.

Определитель Гурвица составляется следующим образом:  по главной диагонали сверху вниз направо выписываются все коэффициенты характеристического уравнения по возрастающим степеням индексов от 𝑎0 до 𝑎𝑛−1;  справа от главной диагонали по строкам записываются коэффициенты по убывающим индексам, слева – по возрастающим. Оставшиеся места заполняются нулями.  Определитель Гурвица ∆𝑛 имеет n строк и n столбцов.

Минор ∆𝑛−1 является определителем, который образуется из определителя Гурвица вычеркиванием левого столбца и верхней строки. Все последующие миноры образуются из предыдущего вычеркиванием левого столбца и верхней строки. Если при коэффициенте 𝑎𝑛 > 0  один из определителей меньше нуля, то система неустойчива. Если один из определителей равен нулю, а остальные определители и коэффициент 𝑎𝑛 положительны, то система находится на границе устойчивости. Для системы первого порядка 𝑎1 𝑑𝑦 𝑑𝑡 +𝑎0𝑦 = 0          𝑎1𝑝+𝑎0 = 0 При 𝑎1 > 0     ∆𝑛 = ∆l = |a0|=𝑎0 > 0 Система устойчива, если коэффициенты характеристического уравнения АС положительны: 𝑎1 > 0; 𝑎0 > 0. Для системы второго порядка  𝑎2 𝑑2𝑦 𝑑𝑡2 +𝑎1 𝑑𝑦 𝑑𝑡 +𝑎0𝑦 = 0       𝑎2𝑝2 +𝑎1𝑝+𝑎0 = 0 При 𝑎2 > 0;  ∆𝑛 = ∆2 = | 𝑎0 0 𝑎2 𝑎1| = 𝑎0∆l > 0; ∆1= 𝑎1 > 0 Система устойчива при условии положительности всех трёх коэффициентов характеристического уравнения: 𝑎2 > 0; 𝑎1 > 0; 𝑎0 > 0. Для системы, описываемой дифференциальным уравнением третьего порядка:

𝑎3

𝑑3𝑦 𝑑𝑡3

+𝑎2

𝑑2𝑦 𝑑𝑡2

+𝑎1

𝑑𝑦 𝑑𝑡

+𝑎0𝑦 = 0

𝑎3𝑝3 +𝑎2𝑝2 +𝑎1𝑝+𝑎0 = 0 𝑎3 > 0;

∆𝑛 = ∆3 = | 𝑎0 0 0 𝑎2 𝑎1 𝑎𝑛 0 𝑎3 𝑎2

|=𝑎0∆2= 𝑎0(𝑎1𝑎2 −𝑎0𝑎3) > 0

Условия устойчивости запишутся  в виде:

∆1= 𝑎2 > 0;  ∆2= |

𝑎1 𝑎0 𝑎3 𝑎2| = 𝑎1𝑎2 −𝑎0𝑎3 > 0;        ∆3= 𝑎 0∆2> 0. Из последнего неравенства вытекает, что 𝑎0 > 0,т.к ∆2> 0 Из неравенства ∆2> 0  при 𝑎3 > 0;𝑎2 > 0;𝑎0 > 0 следует, что 𝑎1 > 0.