Динамика точки в инерциальной системе отсчета

Динамика точки в инерциальной системе отсчета.

Порядок решения задач динамики точки.

2. Изобразить точку в положении, соответствующем произвольному моменту времени (при t > 0) так, чтобы координаты

были положительными. При этом считаем также, что проекция скорости в этом положении также положительна. В случае

если проекция скорости меняет знак (например при колебаниях), следует принять, что в рассматриваемый момент времени

точка удаляется от положения равновесия.

3. Освободить материальную точку от связей, заменить их действие реакциями, добавить активные силы.

1. Выбрать систему координат – прямоугольную при неизвестной траектории движения, естественную при известной

траектории. Начало отсчета совместить с начальным положением точки (при t = 0) или с равновесным положением точки,

если оно существует, например, при колебаниях точки.

4. Записать основное уравнение динамики точки в векторном виде, спроецировать на выбранные оси, выразить задаваемые

или реактивные силы через переменные время, координаты или скорости, если они от них зависят.

5. Проинтегрировать полученное дифференциальное уравнение (систему уравнений).

6. Из начальных условий определить константы интегрирования.

𝑚𝑎 = 𝐹

𝑘

𝑁

𝑘=1

– основное уравнение динамики материальной точки

𝑚𝑥 = 𝐹𝑘𝑥 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ,𝑡 ;

𝑚𝑦 = 𝐹𝑘𝑦 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ,𝑡 ;

𝑚𝑧 = 𝐹𝑘𝑧 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ,𝑡 .

𝑚𝑠 = 𝐹𝑘𝜏 𝑠, 𝑠 ,𝑡 ;

𝑚

𝑠

2

𝜌

= 𝐹𝑘𝑛 𝑠, 𝑠 ,𝑡 ;

0 = 𝐹𝑘𝑏 𝑠, 𝑠 ,𝑡 .

МГТУ им.

Н.Э. Баумана

Динамика точки в инерциальной системе отсчета.

Тело массы m падает в воздухе без начальной скорости. Сопротивление воздуха 𝑅 = 𝑘

2𝑚𝑔𝑣

2

, где 𝑣 − величина

скорости тела. Определить предельное значение скорости тела, зависимость скорости тела от времени, и закон его

движения.

Решение.

x

0 t=0

𝑣

𝑚𝑔

𝑅

𝑚𝑎 = 𝑚𝑔 + 𝑅

𝑥: 𝑚𝑥 = 𝑚𝑔 − 𝑅 = 𝑚𝑔 − 𝑘

2𝑚𝑔𝑣

2

𝑥 = 𝑔(1 − 𝑘

2𝑥

2

)

𝑑𝑣

𝑑𝑡

= 𝑔 1 − 𝑘

2𝑣

2

;

𝑑𝑣

1 − 𝑘

2𝑣

2

= 𝑔𝑑𝑡

∙ 𝑘

∙ 𝑘

1

2

𝑙𝑛

1 + 𝑘𝑣

1 − 𝑘𝑣

= 𝑘𝑔𝑡 + 𝐶1 Н.У.: 𝑡 = 0, 𝑣 = 0 ⇒ 𝐶1 = 0

1 + 𝑘𝑣

1 − 𝑘𝑣

= 𝑒

2𝑘𝑔𝑡 ⇒ 𝑣(𝑡) =

1

𝑘

𝑒

𝑘𝑔𝑡 − 𝑒

−𝑘𝑔𝑡

𝑒

𝑘𝑔𝑡 + 𝑒

−𝑘𝑔𝑡

𝑣

𝑡

1

𝑘

𝑣∞ =

1

𝑘

Предельное значение скорости:

При отсутствии сопротивления