Система с нелинейностью «люфт»

1. Введение

Нелинейная система управления – динамическая система, движение которой описывается нелинейными уравнениями.

Нелинейность – тот или иной физический процесс, который не может быть описан линейными уравнениями.

Нелинейности проявляются в технических системах.

В понятие нелинейности  вводят понятие нелинейных звеньев. Это присуще при использовании структурных моделей физических процессов, когда звено устанавливает связь с одним или несколькими воздействиями.

2. Система с нелинейностью «люфт»

Рассмотрим динамическую систему, структура которой показана на рисунке 1.6. Передаточная функция ее линейной части:

[pic 1]

Передаточная функция замкнутой системы:

[pic 2]

Исходные данные для расчета

Величина входного задающего воздействия: Xвх = B · 1(t)                B := 20

Величина люфта нелинейного звена:                                                      Δ := 0.2

Коэффициент передачи разомкнутой системы:                                    Kл := 1

Полином числителя передаточной функции линейной части САУ: B(p) := 0.2 · p + 1  

Полином знаменателя передаточной функции линейной части САУ в разомкнутом и замкнутом состоянии:

[pic 3]

   [pic 4]

3. Расчет и построение 1-го участка переходного процесса в системе при нулевых начальных условиях

При подаче на вход системы скачкообразного сигнала:

[pic 5]

 начинает изменяться координата Xв (t) на выходе линейной части Wл (p). Из-за люфта нелинейного звена выходная координата Xвых(t) остается равной нулю, т.е. система работает в разомкнутом режиме. Учитывая, что начальные условия нулевые, а изображение входного воздействия , изображение координаты Xв (t) на этом участке:

[pic 6]

Выполнив обратное преобразование Лапласа, получим оригинал:

[pic 7]

и построим график 1-го участка переходного процесса

[pic 8]

Условием окончания 1-го участка является равенство X1в (t 01) = ∆. Используя графический и аналитический методы, определим время окончания 1-го участка, которое составило t 01 = 0.187. В этот момент заканчивается выборка люфта и выходной вал механизма приходит в движение. Сигнал обратной связи становится отличным от нуля, т.е. система переходит в замкнутый режим работы.

С целью дальнейшего использования при построении результирующего графика переходного процесса рассчитаем значения функции X1в (t 1 ) на интервале времени t 1 := 0.001..t 01 и построим график. Выходная координата системы на протяжении 1-го участка оставалась равной нулю, поэтому X1вых(t 1 ) := 0.

[pic 9]

4. Расчет и построение 2-го участка переходного процесса

На 2-ом участке система работает в замкнутом режиме при ненулевых начальных условиях. Динамика системы в этом случае описывается обобщенной передаточной функцией:

[pic 10]

где Rн2 (p) – полином, учитывающий ненулевые начальные условия. Он может быть найден по выражению:

[pic 11]

где X11(t 01), X12(t 01) и X130(t 01) – значения первых трех производных координаты X1в (t) в момент времени t 01, причем первая и вторая производные найдены по условиям слева, а третья – по условиям «справа».

 Вычислим значения производных X11(t 01), X12(t 01) и X130(t 01) по выражениям:

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

Выполнив обратное преобразование Лапласа изображения, получим оригинал:

[pic 18]

+1∙i∙(.77026∙exp(-18.370∙t) ∙cos(70.392∙t)+3.3012∙exp(-18.370∙t) ∙sin(70.392∙t) +1∙i∙(.77026∙exp

(-18.370∙t) ∙cos(70.392∙t)- 3.3012∙exp(-18.370∙t) ∙sin(70.392∙t))+2.8023∙exp(-4.0704∙t)

и построим график 2-го участка переходного процесса .

[pic 19]

Полученная кривая имеет точку перегиба , что говорит о смене направления движения механизма. Следовательно, в точке В начинается переход с правой ветви статической характеристики нелинейного звена на ее левую ветвь, который закончится лишь по окончании выборки удвоенной величины люфта 2∆. Поэтому система переходит на работу в разомкнутом режиме, при котором сигнал обратной связи не изменяется. Таким образом, условием окончания 2-го участка является равенство X2в (t 02) = Max(X2в (t 2 )), где t 2 – произвольный интер- вал времени. Момент времени t 02 можно найти как графически, так и аналитически.