Сақинаның

III-ТАРАУ. САҚИНАЛАР

§ 1. Сақинаның анықтамасы мен мысалдары

Анықтама. K жиынында + қосу және ⋅ көбейту операциялары анықталсын. Егер K жиынының элементтері үшін келесі шарттар орындалса, онда K жиыны сақина деп аталады:

1) кез келген a, b, c элементтері үшін (a + b) + c = a + (b + c) –ассоциативтік заң;

2) сақинаның барлық a элементері үшін a + 0 = 0 + a = a теңдіктері орындалатын 0 элементі табылады – нөлдік элементтің табылатындығы;

3) кез келген a элементі үшін a + b = b + a = 0 болатындай b элементі табылады – қарама-қарсы элементтің табылатындығы;

4) кез келген a, b элементтері үшін a + b = b + a –коммутативтік заң;

5) кез келген a, b, c элементтері үшін (ab)c = a(bc) – ассоциативтік заң;

6) сақинаның барлық a элементері үшін ae = ea = a теңдігі орындалатын e элементі табылады – бірлік элементтің табылатындығы;

7) кез келген a, b, c элементтері үшін a(b + c) = ab + ac және (b + c)a = ba + ca – дистрибутивтік заңдар.

Әдетте (5) және (6) шарттар жалпы сақинаның анықтамасына кірмейді.

5-шарт орындалмаса онда сақина ассоциатив емес сақина деп аталады. Сондада, біз қарайтын мысалдар – ассоциативтік сақиналар.

6-шарт орындалған сақина бірлігі бар сақина деп аталады.

Біз бірлігі бар ассоциатив сақиналарды қараймыз.  

Сонымен келтірілген 7 шартты сақинаның аксиомалары деп атаймыз. Алғашқы 4 шарт сақина қосу операциясына қатысты коммутатив топ құрайтынын көрсетеді.

5- мен 6-шарт сақина көбейту операциясына қатысты моноид құрайтынын көрсетеді.

Егер сақинада көбейту коммутатив операция болса, онда ол коммутатив сақина деп аталады.

Сақинада екі ғана элементті қосуға немесе көбейтуге болады. Бірнеше a1, a2,…, an элементтерінің Sn = a1 + a2 +…+ an қосындысы индукциямен анықталады:

S0 = 0.

Егер n ≥ 0 үшін Sn қосындысы анықталса, онда Sn+1 = Sn + an+1.

Сақинаның a элементі және кез келген бүтін n саны үшін n·a элементі де индукциямен анықталады.

а) Егер n = 0 болса, онда n·a = 0;

ә) егер n > 0 болса, онда n·a = (n – 1)·a + a.

Теріс n үшін n·a = –((–n)a) деп анықталады.

Енді осы анықтаманы мультипликативтік тілге аударайық.

Кез келген a элементі және кез келген бүтін n саны үшін an дәрежесі индукциямен анықталады:

а) a0 = 1;

ә) егер n > 0 болса, онда an = an–1·a.

Теріс n үшін an = (a–n)–1 деп анықталады.